[Cédric Villani] La meilleure et la pire des erreurs de Poincaré

Bonsoir, bonsoir. C'est la rentrée. On est très heureux de vous voir aussi nombreux. C'est vrai qu'on a un petit peu tardé, puisqu'il y a eu cette séance de dédicaces que nous avions annoncée, qui se déroulait avant la conférence. Il en dédicacera encore un petit peu après Cédric Villani de ses livres, pour ceux qui le désireront, mais sans doute un petit peu moins, parce qu'il a une journée, je crois,

extrêmement

chargée à Rennes. Alors là, il est en train de... Il arrive. Dans un instant, il arrive avec son ordinateur. En attendant, pour gagner du temps, justement, pour faire plaisir au monsieur qui n'était pas content, là. Comment

? Où

êtes-vous

? Ah

oui, d'accord. Je ne vous avais pas vu. Non, non, mais si, si, pour gagner un petit peu de temps aussi, parce qu'il

y

a des gens qui travaillent demain. Donc, je voulais vous dire que c'est la rentrée à l'espace des sciences. Le planétarium et le laboratoire de Merlin, qui étaient fermés la semaine dernière, ont réouvert aujourd'hui. Et puis, c

'est

le 25 septembre que vous allez découvrir les deux nouvelles expositions mises en place dans les

salles

de l'espace des sciences. L'une qui s'intitule Tous vivants, tous différents. C'est une exposition permanente

qui

remplace celle des roches armoricaines. Vous savez qu'il y avait tenu cette place pendant combien d'années ? Six ans. Voilà. Et puis, il

y

a une autre exposition qui va ouvrir aussi à cette même date. Regards sur le vivant, qui sera en place jusqu'au 10 mars 2013. Et les deux ont à voir avec la biodiversité. La biodiversité qui est vraiment beaucoup à l'honneur cette année à Rennes, dans cette rentrée, puisque se déroule en ce moment dans le cadre de vivacité dans plusieurs communes de la métropole, une opération appelée Curieux de nature. J'espère que vous vous y rendrez. Je crois que ça se déroule à Saint-Herblon et à Béton cette fin de semaine. C'est organisé par l'espace des sciences et aussi par le festival Mythos. Voilà. On s'associe pour faire des choses, je crois, très, très intéressantes.

Alors, pour tout cela, c'est simple. Vous vous référez à toutes nos programmations, nos programmes. Je vais y arriver. Voilà. Donc, vous avez ici. Non, celui-là, je ne vous en parle pas. Le programme du festival des sciences pour le mois d'octobre. Le nouveau Science West qui vient de sortir. Tout ce que vous devez savoir sur Curieux de nature. Et puis, bien sûr, notre programme habituel jusqu'au mois de décembre. Cédric, vous êtes là, Cédric

? Je

crois qu'il est en train de rajuster ça à la vallière. Il va arriver. Voilà. Donc, un beau programme, je crois, aussi de conférences très, très variées à vous proposer. Vous pourrez vous en rendre compte. La semaine prochaine, ce sera un rendez-vous un peu particulier puisqu'on parlera de l'avion du futur en relation avec l'anniversaire, le 80e anniversaire de l'Aéroclub de Rennes. Il est vilaine. Bon, je crois qu'il faut que j'aille le chercher. Il doit avoir peur de rentrer. Vous avez vu comme il est timide. Cédric.

Bonsoir.

Alors, que je vous précise pendant que Cédric branche son ordinateur, que cette conférence est filmée grâce à nos amis du CREA de l'université Rennes 2 et qu'elle sera donc sur le site de l'espace des sciences très prochainement. Vous pourrez donc la revoir si vous avez besoin d'une piqûre de rappel et ça me permet de remercier tout de suite Vincent, Henri et Jackie qui sont derrière les caméras

ou

en régie de leur présence. Et puis, merci aussi à Jérôme et à Franck qui sont, eux, dans la régie des champs libres. Voilà. Où on en est, Cédric, là

? On est

tout bon ? Tout est bon ?

Oui.

Super. Alors, je vais vous le présenter parce que ce monsieur, vous ne le connaissez pas. Vous ne le voyez nulle part, bien sûr, en cette rentrée.

Pas. Ah,

il n'a pas l'ordinateur. Ça, c'est embêtant. C'est la régie. On va lui le donner.

Vous

voyez ce que c'est d'être scientifique. Avoir un scientifique chez soi, ça doit être super.

C'est un appel, Maët ?

S'il vous plaît. Non,

je n

'ai

plus l'âge, malheureusement, mais sinon. Alors, voilà, Cédric Villani, vous le voyez effectivement partout en ce moment. Je dois vous dire que quand nous l'avons invité pour venir nous faire cette conférence à l'Espace des sciences, on n'avait pas imaginé ce déferlement médiatique. Pourtant, on savait que le livre allait sortir. Mais alors, je vous représente, Cédric Villani, au cas où vous ne sauriez pas très bien qu'il est. Si j'ai des bêtises, vous m'arrêtez, Cédric. Faites-moi confiance pour ça. Directeur de l'Institut Poincaré, professeur à l'Université Claude Bernard de Lyon,

pur

produit de l'enseignement français, école préparatoire, école normale supérieure, thèse à Paris-Dauphine, sous la direction d'ailleurs d'un autre médaillé Fields, Pierre-Louis Lyons. On dit Lyons ou Lyon ? Lyons,

oui. Lyons.

Des séjours aux Etats-Unis ou encore au Japon ? Oui,

un

peu

partout.

Un peu partout.

J'étais au Brésil il n'y

a

pas longtemps. C'était mon 35e pays, je crois.

Ah oui, pas mal, pas mal. Et puis, cette médaille Fields reçut en 2010 la plus grande distinction de votre discipline et qui vous a été remise en Inde. C'était lors du congrès international de mathématiques. Alors tout ça, on le sait déjà puisqu'on vous a reçu il y a 18 mois ici. Mais la nouveauté, bien sûr, c'est donc le livre de Cédric Villani, Théorème vivant, paru chez Grasset. Alors je dois dire que j'ai envoyé un petit mot à Cédric en lui disant que j'avais lu avec beaucoup de plaisir ce livre, que j'avais trouvé les équations extrêmement esthétiques. Voilà. Mais je vous assure que c'est un livre qui donne la pêche.

Parce que c'est un livre d'un passionné où il y a des chapitres qui parlent de votre vie un peu, de votre vie personnelle, de l'engagement de votre famille dans votre parcours aussi. Parce que c'est

important.

Une question,

un problème que tout chercheur doit résoudre.

Voilà. Des rencontres avec des scientifiques d'avant et de maintenant, des contemporains, avec des petits portraits et de très jolies illustrations de Claude Gondart.

Oui. Il a fait un très beau travail là-dessus. Et il y a un côté, effectivement, on en reparlera sans doute un peu après, mais il y avait une question de rendre à la fois les illustrations, c'était une façon de rendre les personnages incarnés, leur donner un visage, et en même temps garder un style d'ensemble avec une certaine unité graphique.

C'était une bonne idée aussi de faire une petite biographie à chaque fois des scientifiques dont vous parlez, de nous les présenter quand on ne les connaît pas ou de les ramener à notre mémoire aussi. C

'était une très,

très bonne idée.

Des

petites insertions comme ça, des petits interludes de type biographique, de type culturel.

Alors,

on s'imagine toujours un peu, quand on est loin de ce milieu scientifique,

que

certains scientifiques ont des sortes de fulgurances. D'ailleurs, c'est un mot que vous utilisez pour Poincaré, des fulgurances, puis qu'après, ça coule de source. Quand on lit votre livre, on participe finalement, on se rend compte de tous les moments de joie, d'espoir, de découragement, les échanges de mails avec les amis et collègues.

Donc, ça,

c'est extrêmement passionnant. Mais alors, moi, ce qui me frappe, c'est l'énergie qui se dégage

de

ce livre et de votre parcours. On a l'impression que vous êtes

toujours

battant.

C

'est vrai ? Bien sûr.

Est-ce que

de temps en temps, vous avez un petit coup de fatigue comme ça

? Non,

je n'ai jamais de petit coup de fatigue et jamais de découragement. D'ailleurs, il suffit de lire le livre. Il y a une blague à part, il

y

a un certain nombre de chapitres qui se termine un peu dans le désespoir, avant qu'un coup de théâtre vienne vous en sortir. Personne, enfin, je ne connais personne qui ne soit pas... Personne d'engagé dans une activité un peu à risque, avec un fort engagement, ne va pas connaître, à un moment ou à un autre, de moments où on est un peu bas, où on s'inquiète, où on perd l'espoir. Ça, ça arrive forcément, il

faut

savoir comment le surmonter.

Alors, on découvre aussi Cédric Villani, le papa qui raconte l'histoire de Korako.

Ah

oui, Korako.

Le petit corbeau japonais. Le

petit corbeau japonais, vous savez, vous avez

vos enfants en voyage, il faut les occuper des fois, il faut trouver comment aiguiser leur intérêt, comment les faire patienter quand il y a besoin, et puis les maintenir prêts à... Vous savez, avant de s'endormir, il y

a

le petit moment, qui est un petit moment d'excitation, où on raconte une histoire, où on lit un livre ou quelque chose comme ça, et qui vous permet après de vous endormir tranquille.

Voilà. Et puis, on découvre aussi que Cédric Villani est un lecteur de mangas. Il peut même pleurer en lisant un manga, qu'il adore, Nell Gaiman. Et puis, alors, on découvre aussi ses goûts musicaux. Alors, ça,

c

'est tout autre chose, mais c'est quand même très intéressant. Et moi, j'étais un peu stupéfaite, parce que de découvrir que vous nous parlez de Catherine Ribeiro, d'Henri Tachan, des gens formidables, souvent d'ailleurs des chanteurs engagés, enfin, bon, c'est pas de votre âge, Cédric, quoi. C'est plus vieux que vous, ça.

Hum

hum.

Non

?

Écoutez, toutes les musiques ont un côté intemporel, à un certain moment. Quand ça parle d'émotions, ce sont des émotions éternelles. Et des personnages, comme ceux que vous venez de citer, qui sont des chanteurs un peu uniques dans leur style, il n

'y a

pas tellement d'équivalent, ils gardent toujours leur modernité, leur actualité.

Tout

ça pour vous dire que ce livre est formidable, même si on n'est pas doué en mathématiques.

Voilà, je voulais

absolument que vous le sachiez. Et je citerai juste une phrase que l'on trouve à la page 40, où vous dites, en mathématiques, c'est comme dans un roman policier ou un épisode de Colombo, le raisonnement par lequel le détective confond l'assassin est au moins aussi important que la solution elle-même.

Exactement.

Et

c'est bien ça qu'il est question souvent en mathématiques. Même quand on connaît la solution, parfois, ou quand on a l'intuition, c'est le raisonnement qui compte.

Voilà,

on va vous écouter avec plaisir, nous parler de...

Deux points

carrés.

Deux

points

carrés.

Et puis,

on se retrouve tout de suite après, et vous savez qu'après, c'est vous qui avez la priorité pour les questions. Très, très bonne soirée à tous.

Merci, Maët.

Comme vous l'a dit Maët, effectivement, je suis déjà passé dans cette salle il y a 18 mois. Je pense que certains d'entre vous étaient là, et puis d'autres n'y étaient pas. Pour ceux qui étaient là, vous retrouverez une partie de ce que je racontais il

y

a 18 mois. Ça n'est pas un problème. La répétition est une des bases de la pédagogie.

Et

de toute façon, vous le retrouverez sous un éclairage un peu différent.

Et

puis, pour ceux qui n'étaient pas là, et évidemment, je ne ferais pas comme si vous aviez assisté à la séance précédente.

Il

y a deux choses nouvelles depuis la dernière fois. Maët a dit qu

'il y

en a un, c'est cet ouvrage, Théorème vivant, dans lequel j'essaie de donner une vision assez impressionniste, parfois kalidoscopique, de ce que c'est le quotidien et les émotions d'un chercheur en train de travailler, en train de plancher à réaliser une avancée mathématique. Et puis, l'autre événement, par rapport à l'an dernier, c'est que nous sommes en 2012. Et 2012, c'est le centenaire de la mort d'Henri Poincaré. Ce sera une année en partie consacrée à Poincaré. Il y aura des diverses commémorations à divers endroits en France. Donc, en même temps, ici, c'est à l'occasion de la sortie de l'ouvrage, c'est aussi à l'occasion de Poincaré que je suis heureux de faire cette conférence.

On va parler de Poincaré, mais à travers Poincaré, on va parler de mathématiques et de mathématiciens. Mathématiques, c'est un monde qui est souvent considéré comme fascinant et très étranger.

Les

mathématiques ou la mathématique, j'aime bien le singulier parce qu'il

n'y a

pas de raison que ce soit la seule science qui soit au pluriel.

Et la

mathématique,

c

'est comme toutes les autres sciences, dans ses buts premiers, dans ses vocations, sa vocation à décrire le monde, comprendre le monde,

et

agir sur le monde.

Et ça,

c'est pareil pour les autres sciences que pour la mathématique,

y

compris dans la fonction agir. Il n'y a pas une innovation technologique qu'un tant soit peu développée aujourd'hui qui est développée sans qu'il y ait une part de mathématiques à l'intérieur.

La

part de mathématiques ne mobilise pas forcément beaucoup de monde, mais il y a forcément toujours un cœur mathématique à un moment ou à un

autre. C

'est quelque chose d'extrêmement puissant.

Ce

n

'est

pas forcément ce qu'on a en tête que c'est quelque chose aussi qui évolue énormément.

La

mathématique telle qu

'on

l'apprend au lycée, ce n

'est

pas forcément un mal, on pourrait en discuter, mais ce n

'est

pas forcément un mal. c'est de la mathématique essentiellement qui s'est arrêtée en 1800. Toutes les autres sciences que vous apprenez au lycée, pour toutes les autres sciences, vous apprenez des choses beaucoup plus récentes.

Mais

en mathématiques, ça s'arrête il y a 200 ans et souvent, on en garde l'impression, complètement erronée, que c'est quelque chose qui n'évolue pas, qui a été figé, qui a été bien construit une fois pour toutes, un outil qui va servir au reste.

Il

n'y

a

rien de plus faux. La mathématique, ça évolue aujourd'hui plus rapidement que ça n'a jamais évolué par le passé, avec des milliers de chercheurs

qui

travaillent dur au service de la société, au service de la discipline qu'ils aiment, et souvent en association avec d'autres sciences, de plus en plus par les jours actuels. Mathématiques, c'est un très bon métier, avec une forte emprise sur la réalité, à tel point qu'il y a deux ans,

il

y a trois ans, le Wall Street Journal, dans son étrange, une opération étrange, ce classement de tous les métiers du monde, avait classé en première position mathématicien. Meilleur métier du monde, selon le Wall Street Journal.

Pourquoi est

-ce qu'ils ont pu considérer que c'était quelque chose de si bien ? Précisément parce que c'était quelque chose de tellement puissant et tellement universel. C'est puissant, c'est miraculeux, et on a tendance à l'oublier, on ne se rend même pas compte à quel point c'est incroyable qu'en griffonnant des équations sur un bout de papier, vous arriviez à prédire le mouvement de planètes qui sont à des distances considérables, sur lesquelles aucun humain ne mettra jamais le pied, et qui ont des dimensions qui sont simplement absolument incommensurables pour nous. Et pourtant, ça marche.

C

'est la puissance de la mathématique et de l'abstraction appliquée à la description du monde réel.

Donc

c'est quelque chose d'extrêmement puissant, pourtant, c'est un très bon métier, pourtant, les vocations pour devenir mathématicien, ça n

'a

jamais été aussi en berne que ça n'est maintenant.

Ça

n'intéresse pas trop les gens, pourquoi ? Je ne sais pas trop, mais peut-être qu

'ils

se disent que ce sont de longues études, ce sont des choses compliquées, bien du mal pour pas grand-chose, et puis qu'on n'a pas tellement la reconnaissance qu'on pourrait avoir. En tout cas,

vous

voyez beaucoup plus d'autres disciplines,

d

'autres métiers que mathématiciens en première page des journaux.

Et

évidemment, c'est un problème. S'il

n'y

a plus de mathématiciens, nous allons au-devant d'une catastrophe. D'ailleurs, le problème se pose pour toutes les sciences, un temps soit peu dur.

C

'est un problème aussi parce que ça coupe les chercheurs du reste de la société, si personne ne parle d'eux.

Ça

rend les chercheurs aigris.

Ça

fait que la société se demande pourquoi elle paye ces gens-là,

si

on ne sait pas trop ce qu'ils font. Et puis, tout simplement, ça prime la société de bonnes occasions de faire des choses intéressantes.

Et

des conférences comme celle-ci, j'en ai

fait

des dizaines au cours des dernières années. À chaque fois, je suis émerveillé par l'enthousiasme du public. Littéralement, il y

a

des gens qui sont

vraiment

ravis d'entendre parler de science. Donc c'est important d'entendre parler de science et de le faire par tous les canaux possibles. Alors, il y a le canal du livre tel que vous l'a présenté Maët, ce livre qui vous décrit, pour la première fois, je pense, commencer au quotidien la vie d'un mathématicien avec les émotions, les sentiments contradictoires, le langage qu'il utilise au niveau de l'oral et au niveau de l'écrit, les rencontres, les rebondissements.

Ça

peut être sous forme d'articles, ça peut être sous forme de chroniques radio, ça peut être sous forme d'exposés, de vulgarisations. Ça peut être aussi sous forme d'exposés historiques, comme on va le faire ce soir. Et bien sûr, tout cela est lié. Ce sont des éclairages complémentaires. Ce soir, je vais rendre hommage à Henri Poincaré, l'un des plus grands mathématiciens que la France ait jamais connu et le

meilleur

mathématicien, certainement, de son époque. Henri Poincaré, donc, disparu en 1912, c'est un monument.

J

'espère, j'ai bon espoir, qu'il pourra bientôt être honoré au Panthéon. Et Poincaré, évidemment, c'est un tel monument que si on se met à lui rendre hommage de manière très différente, ça va être complètement sacralisant. Alors, on va lui rendre hommage de manière un peu impertinente en insistant sur ses erreurs.

De

toute façon, comme vous allez le voir, ce gars-là ne fait jamais rien qui soit inintéressant et ses erreurs étaient extrêmement intéressantes. Poincaré, il est intéressant non seulement en tant que très grand scientifique, mais aussi en tant qu'écrivain, vulgarisateur, en tant que passeur. C'est un des très rares à avoir écrit sur la place de la science et sur la place du mathématicien et sur la sociologie du mathématicien, comment un mathématicien travaille.

Et

sur la pensée. Voici une belle citation de Poincaré. La pensée n'est qu'un éclair au milieu d'une longue nuit, mais c'est cet éclair qui est tout.

Et

la pensée, évidemment, c'est quelque chose qui fascinait Henri Poincaré.

Une

petite chronologie pour commencer.

Jules

-Henri Poincaré naît en 1854 à Nancy.

Il

connaît donc la guerre et l'occupation allemande quand il est adolescent.

Il

apprend la langue et la culture allemande à cette occasion. Et à la fois,

toute

sa vie, il sera en collaboration et en compétition avec des mathématiciens allemands. L'école mathématique allemande était peut-être la plus développée à cette époque-là.

Et

en même temps, il gardera toute sa vie le traumatisme de la guerre. 1873, il entre à l'école polytechnique. Il devient ingénieur et docteur. Toute sa vie également, il gardera le double cursus et la double casquette d'ingénieur et d'universitaire.

Son

premier poste d'assistant professeur est à Caen. 1881, c'est la grande année où à la fois, il se marie,

il

devient professeur à la Sorbonne et obtient ses premiers vrais grands résultats qui le font connaître à l'international. 1887, une date charnière qu'on évoquera, le prix du roi Oscar II qui lui assure une reconnaissance et une célébrité même en dehors de la sphère des scientifiques. À partir de ce moment, Poincaré devient un personnage public et un des très rares scientifiques à avoir été connu du grand public simplement par son activité de chercheur sans chercher particulièrement à communiquer.

La

presse parle de Poincaré dans un des livres qui était tout à l'heure mis en exposition par la librairie Le Fayet. Il y avait cet ouvrage récemment paru où on analyse Poincaré à travers des articles de journaux de l'époque. Ça, c'est extrêmement rare pour un scientifique. Expert au procès Dreyfus en 1899 puis en 1904, c'est lui qui a été désigné par ses pairs pour témoigner devant le tribunal que certaines des preuves soi-disant mathématiques qu'on envoyait contre Dreyfus et n'étaient que du vent.

Il

y avait une théorie complètement démente inventée par un célèbre scientifique d'ailleurs qui est l'un des pères de la police scientifique telle qu

'on

la connaît maintenant, mais une théorie qui était absolument démente selon laquelle Dreyfus aurait lui-même plagié sa propre écriture.

Vous

voyez déjà le genre d'esprit tordu qu'il faut avoir pour ça et le tout justifié avec de savants calculs de probabilité.

C

'est Poincaré qui a été envoyé au front, si j'ose dire, pour démonter la théorie.

À

partir de 1901, Poincaré renforce sa présence dans le grand public de manière importante avec des ouvrages grand public extrêmement intéressants. Je vous en

lirai

quelques petits extraits tout à l'heure. Ouvrage à la fois profond et accessible. Et Poincaré est reconnu à l'étranger, pas tellement en France, mais à l'étranger, souvent reconnu comme un scientifique, comme un philosophe des sciences majeures du XXe siècle. En 1910, j'ai noté son examen par le docteur Toulouse qui cherchait à comprendre les secrets de l'intelligence. Il se disait que Poincaré c'était un tel génie que forcément il allait apprendre quelque chose en l'étudiant de près. Essentiellement, il n'en a rien appris parce qu'on sait bien que l'intelligence c'est très dur à quantifier et à étudier. Poincaré meurt en 1912 à Paris.

Voici la carte de tous les déplacements principaux occupés par Poincaré dans sa vie professionnelle où l'on voit qu'il n'a pas tellement bougé.

C

'était un homme du Nord à la vue basse, pas très sportif,

qui

se méfiait d'ailleurs des hommes du Sud qui voyaient comme assez fanfaron et bravache. C'était quelqu'un de réfléchi. Assez remarquable que ça ait pu devenir un véritable héros national avec quand Poincaré est mort.

C

'était la grande affaire, les funérailles nationales.

Tout

le monde savait que le meilleur savant de France était mort et ainsi de suite.

On

confond souvent Henri Poincaré avec son cousin Raymond. Raymond Poincaré

qui

lui a été seulement président de la République

et

qui en particulier a été président de la République pendant la Première Guerre mondiale à une époque où ce n

'est

pas forcément lui qui avait les pouvoirs les plus importants. Il était en rivalité, ce cher Poincaré, avec Clémenceau. C'était son grand adversaire mais il a dû l'appeler au pouvoir à un moment clé. Clémenceau, qui n'était jamais avare de vacherie, a dit à un moment

qu

'il y avait décidément beaucoup d'intelligence dans la famille Poincaré

mais

que malheureusement c'était Henri qui avait tout pris. Malgré la boutade de Clémenceau, Raymond Poincaré est encore très présent dans les esprits et très souvent vous entendez des gens qui confondent l'un et l'autre. L'exemple vient de haut puisque pour ceux qui ont vu peut-être la semaine dernière le grand journal dans lequel je passais où l'on parlait de mon ouvrage précisément, il y avait le ministre Vincent Péillon qui a expliqué, il a voulu frimer un petit peu peut-être et puis passer un peu de brosse sur votre invité.

J'aime beaucoup Vincent Péillon et je pense que c'est un très bon ministre mais là il a voulu dire quelque chose de gentil à mon égard et a expliqué que je dirigeais l'Institut Raymond Poincaré.

Je

n'ai pas relevé parce que je suis un garçon gentil.

mais

il s'agit bien de Henri Poincaré le scientifique. C'est de lui que nous parlerons ce soir.

Et

ici précisément l'Institut Henri Poincaré

dans

le cinquième arrondissement parisien

que

j'ai l'honneur et le plaisir de diriger depuis trois ans maintenant.

Vous

voyez que l'Institut Henri Poincaré c'est un peu comme la maison des mathématiciens. Ça abrite mathématiques et physique théorique et ça accueille chaque année des centaines de chercheurs invités qui travaillent dans tous les secteurs de la mathématique et de la physique théorique et qui viennent d'un peu tous les pays du monde.

C

'est vraiment le point de rencontre de la communauté. C'est aussi le lieu qui héberge toutes les sociétés savantes de mathématiques et les associations nationales de défense de la mathématique.

Ici cette

image a été prise lors de la célébration du bicentenaire de la naissance des varistes galois en 2011 un autre monstre sacré de la mathématique française. Cent ans après la mort d'Henri Poincaré quelque chose qui reste et qui est indéracinable c'est cet institut qui a été fondé en 1928

à

un moment où dans l'après-guerre il fallait redynamiser les échanges scientifiques dans une France qui était complètement exsangue également du côté scientifique.

Henri

Poincaré c'est aussi un prix mathématique extrêmement prestigieux en physique mathématique et si vous avez regardé un peu l'actualité pendant l'été vous avez peut-être vu passer la nouvelle que cet été deux jeunes mathématiciennes françaises ont été distinguées par ce prix Henri Poincaré.

C

'était la première fois d'ailleurs que le prix allait à des filles. Le prix Henri Poincaré est attribué aussi bien à de jeunes chercheurs très prometteurs qu'à des chercheurs plus seniors

qui

ont fait leur preuve et qui sont devenus des monuments dans la discipline ici

les

américains Barry Simon et Freeman Dyson

et

donc ici Naline Nantaraman et Sylvia Cerfati

donc

Henri Poincaré c'est aussi le prix le plus prestigieux de physique mathématique

cette

branche de la mathématique où on étudie des phénomènes physiques par le biais mathématique de manière entièrement interne à la mathématique avec cependant un va-et-vient constant vers la physique.

Henri

Poincaré cent ans après ça va être quoi aussi ? Qu'est-ce qu'il en reste dans l'imaginaire collectif ou pour le public ? Ici vous avez une caricature intéressante où Poincaré avec ses sourcils en bataille et sa barbe en train d'écrire sur la nappe d'un restaurant sans doute symbolise bien le savant complètement obsédé par son problème avec ses fulgurances comme on disait tout à l'heure assez sympathiques et en même temps un peu

perdues. C

'est un roman

Henri

Poincaré tout récent All Cry Chaos un roman vous voyez ici un Henri Poincaré mystery

un

roman dans lequel le héros et un descendant d'Henri Poincaré utilisent ses talents mathématiques pour résoudre l'énigme.

Ici

vous voyez Henri Poincaré à l'occasion d'une conférence grand public donnée par Etienne Gis

à

l'occasion de la célébration de la résolution de la conjecture de Poincaré et pour des raisons pédagogiques dans le plan complexe Etienne Gis s'était amusé comme on le voit sur cette image à élever Poincaré au carré.

Ici

la plaque le moulage plâtre de la plaque qui a été installée sur la façade de l'Institut Henri Poincaré une allégorie

c

'est le même graveur qui a effectué cette plaque et qui a réalisé les images

pour

mon livre les images que commentait Maët tout à l'heure.

Claude

Gondart vous voyez ici Henri Poincaré entre diverses au milieu de diverses représentations de certaines de ses théories les plus célèbres.

La

conjecture de Poincaré et la naissance de la topologie et ici la représentation d'une sphère de dimension 4 une sphère de dimension 3 dans l'espace à 4 dimensions projetée dans notre espace

et

c'est en tout cas c'est un objet central dans la conjecture qui a été résolue il

y

a quelques années par Grigory Perelman dans cet épisode qui avait défrayé la chronique il y a quelques années. Ici l'attracteur de Lorenz dont je reparlerai dans la conférence et puis ici d'autres ici un rappel des fonctions fuchsiennes dont je parlerai tout à l'heure. Ici un situé Poincaré

noté

que le graveur facétieux

a

mis des points qui sont carrés. Poincaré c'est aussi une source inépuisable de citations souvent profondes et toujours pleines de bon sens qui s'appliquent dans beaucoup de circonstances.

Douter

de tout ou tout croire ce sont deux solutions également commodes qui l'une et l'autre nous dispensent de réfléchir.

Ici

dans la suivante vous voyez un Poincaré très idéaliste la recherche de la vérité doit être le but de notre activité

c

'est la seule fin qui soit digne d'elle.

Ici

une intéressante vision de la science la savant doit ordonner on fait la science avec des faits comme une maison avec des pierres mais une accumulation de faits n'est pas plus d'une science qu'un tas de pierres n'est une maison. Cette idée jolie joliment tournée que le savant c'est quelqu'un qui ordonne qui trouve des principes des fils conducteurs. En mathématiques on connaît ça très bien et on va le voir dans cette conférence trouver des grands principes qui permettent d'ordonner et de comprendre des phénomènes sous-jacents à ce que nous observons. La mathématique est l'art de donner le même nom à des choses différentes.

Et

puis la dernière qui parle de la création mathématique la faculté qui nous apprend à voir c'est l'intuition. Sans elle le géomètre

quand il

dit géomètre comprenez mathématicien serait comme un écrivain qui serait ferré sur la grammaire mais qui n'aurait pas d'idée. Et Poincaré est connu et resté célèbre pour son insistance sur le rôle de l'intuition dans la création scientifique et dans l'appréciation de ce qui est important et de ce qui ne l'est pas en science.

Vous

n'avez pas besoin de

savoir

lire ça c'est juste pour moi pour pouvoir vous le lire vous pouvez fermer les yeux si vous le voulez on va replonger un peu dans la tête de Poincaré et le texte que je vais vous lire est l'un des très rares témoignages de mathématiciens qui évoquent des circonstances dans lesquelles ils découvrent. Il est clair même si je n

'en

avais pas conscience il est clair pour moi que j'ai été influencé par l'existence de textes de ce style quand j'ai écrit mon ouvrage Théorème vivant.

C

'est le fameux épisode du marche-pied très connu en particulier pour tous ceux qui s'intéressent aux sciences cognitives.

Il

est temps de pénétrer plus avant et de voir ce qui se passe dans l'âme même du mathématicien.

Pour

cela je crois que ce que j'ai de mieux à faire c'est de rappeler des souvenirs personnels. Je vous demande pardon je vais employer quelques expressions techniques mais si elles ne doivent pas vous effrayer vous n'avez aucun besoin de les comprendre.

Je

dirais par exemple j'ai trouvé la démonstration de tel théorème dans telles circonstances.

Ce

théorème aura un nom barbare

que

beaucoup d'entre vous ne connaîtront pas

mais

cela n'a aucune importance. Ce qui est intéressant pour le psychologue ce n'est pas le théorème ce sont les circonstances. Depuis 15 jours je m'efforçais de démontrer qu'il ne pouvait exister aucune fonction analogue à ce que j'ai appelé depuis les fonctions fouxiennes.

J

'étais alors fort ignorant.

Tous

les jours je m'asseyais à ma table de travail j'y passais une heure ou deux j'essayais un grand nombre de combinaisons et je n'arrivais à aucun résultat.

Un

soir je pris du café noir contrairement à mon habitude je ne pus m'endormir.

Les

idées surgissaient en foule je les sentais comme se heurter jusqu'à ce que deux d'entre elles s'accrochassent pour ainsi dire pour former une combinaison stable.

Le

matin j'avais établi l'existence d'une classe de fonctions fouxiennes

celles

qui dérivent de la série hypergéométrique.

Je

n

'ai

plus qu'à rédiger les résultats ce qui ne me prit que quelques heures.

Je

voulu ensuite représenter ces fonctions par le quotient de deux séries.

Cette

idée fut parfaitement consciente et réfléchie. L'analogie avec les fonctions elliptiques me guidait.

Je

me demandais quelles devaient être les propriétés de ces séries si elles existaient et j'arrivais sans difficulté à former les séries que j'ai appelées thétafouxiennes.

À

ce moment je quittais camp que j'habitais alors

pour

prendre part à une course géologique entreprise par l'école des mines.

Les

péripéties du voyage me firent oublier mes travaux mathématiques. Arrivé à Coutance nous montâmes dans un omnibus pour je ne sais quelle promenade.

au

moment où je mettais le pied sur le marche-pied

l

'idée me vint sans que rien de mes pensées antérieures parût m'y avoir préparé

que

les transformations dont j'avais fait usage pour définir les fonctions fuchsiennes sont identiques à celles de la géométrie non euclidienne.

Je

ne fis pas la vérification

je

n'en aurais pas eu le temps puisque à peine assis dans l'omnibus je repris la conversation commencée

mais

j'eus tout de suite une entière certitude.

De

retour à quand je vérifiais le résultat à tête reposée pour l'acquis de ma conscience.

Je

me mis alors à étudier des questions d'arithmétique sans grand résultat apparent et sans soupçonner que cela pût avoir le moindre rapport avec mes recherches antérieures. Dégouté de mon insuccès j'allais passer quelques jours au bord de la mer et je pensais à toute autre chose. Un jour en me promenant sur une falaise l'idée me vint toujours avec les mêmes caractères de brièveté de soudaineté et de certitude immédiate

que

les transformations arithmétiques des formes quadratiques ternaires indéfinies sont identiques à celles de la géométrie non euclidienne. Étant revenu à Caen je réfléchis sur ce résultat et j'en tirais les conséquences. L'exemple des formes quadratiques me montrait qu'il y a des groupes fouxiens autres que ceux qui correspondent à la série hypergéométrique

je

vis que je pouvais leur appliquer la théorie des séries théta-fouxiènes et que par conséquent il existe des fonctions fouxiènes autres que celles qui dérivent de la série hypergéométrique les seules que je connus jusqu'alors.

Je

me proposais naturellement de former toutes ces fonctions j'en fis un siège systématique et j'enlevais l'un après l'autre tous les ouvrages avancés.

Il

y en avait un cependant qui tenait encore et dont la chute devait entraîner celle du corps de place.

Mais

tous mes efforts ne servirent d'abord qu'à mieux me faire connaître la difficulté ce qui était déjà quelque chose. Tout ce travail fut parfaitement conscient.

Là

-dessus je partis pour le mont Valérien où je devais faire mon service militaire j'eus donc des préoccupations très différentes. Un jour en traversant le boulevard la solution de la difficulté qui m'avait arrêté m'apparut tout à coup.

Je

ne cherchais pas à l'approfondir immédiatement et ce fut seulement après mon service que je repris la question. J'avais tous les éléments je n'avais qu'à les rassembler et à les ordonner. Je rédigeais donc mon mémoire définitive d'un trait et sans aucune peine.

Alors

voilà

un

témoignage assez incroyable. Ainsi on récapitule. Le bon point carré il nous explique qu'il

y a

des moments où il réfléchit comme un dingue la nuit à coup de café et qui sait quoi. Il a un vocabulaire guerrier pour décrire son action. C'est comme un général de bataille qui livre une guerre farouche et puis de temps en temps il est complètement au contraire il pense à toute autre chose il se distrait et paf

la

solution survient.

Ça

lui arrive une fois deux fois trois fois c'est assez remarquable. Alors pour les conseils pour les jeunes

le

jour où vous voulez un contrôle qui arrive ou quelque chose vous avez besoin de sortir faire la fête vous expliquez que vous appliquez la méthode point carré.

Vous

allez vous distraire pour que l'illumination survienne et résolve le problème qui vous a posé tant de soucis dans les heures qui ont passé.

Et

plus sérieusement là ce qu'il nous montre point carré c'est que le fonctionnement du cerveau c'est très difficile à cerner. On a envie de dire non linéaire mais ça ne

veut

pas dire grand chose mais ça réfléchit en sourdine sans qu

'on

le sache et évidemment des fois on est en train de réfléchir sans même s'en rendre compte. Il y a plusieurs éléments qui sont similaires à des procédés que j'ai adoptés dans mon ouvrage d'ailleurs. L'un et je pense que point carré est l'un des seuls à faire ça c'est l'usage des mots bruts des mots tels qu'ils sont tels qu'avec le vocabulaire le jargon mathématique sans adoucissement.

D

'une part parce que ça permet d'évoquer précisément ce qui s'est passé d'autre part parce que

tout

de suite vous voyez que ça parle de fonctions fouxiennes ou d'état fouxienne

il

n

'y a

pas la définition c'est même pas la peine d'essayer de comprendre

et

vous voyez qu'en lisant ce texte vous ne pouvez pas essayer de comprendre de quelle mathématique il s'agit vous êtes forcé de vous concentrer sur les émotions et le processus de réflexion de point carré

toute

votre attention va être sur ce front là et vous n'allez pas disperser votre vos forces sur le front de la compréhension mathématique

et

c'est une des raisons sans doute paradoxales pour laquelle ce texte qui est plein de jargon

est

beaucoup plus connu et est un des plus connus qui soit sur la réflexion mathématique y compris par

des

personnes qui ne connaissent absolument rien

aux

sciences mathématiques

en

vous délivrant de la compréhension du problème de comprendre le sens mathématique il vous force à vous concentrer sur tout ce qui est cognitif et tout ce qui est processus de réflexion

point

carré dans un autre de ces textes où il s'interroge sur le statut des sciences mathématiques nous parle des erreurs voici ce qu'il nous dit il réfléchit il s'interroge sur le processus de réflexion sur l'intuition sur nos mécanismes mentaux

un

premier fait doit nous étonner

ou

plutôt devrait nous étonner si nous n

'y

étions si habitués comment se fait-il qu'il y ait des gens qui ne comprennent pas les mathématiques

alors

on lit ça on se dit oui il est gentil point carré évidemment lui il comprend tout mais évidemment ce n

'est

pas si naïf que ça quand point carré dit ça il y

a

un message plus profond que celui-ci et il développe si les mathématiques n'invoquent que les règles de la logique celles qui sont acceptées par tous les esprits bien faits

si

leur évidence est fondée sur des principes qui sont communs à tous les hommes et que nul ne le serait nié sans être fou

comment

se fait-il qu'il ait tant de personnes qui soient totalement réfractaires

et

là il a raison il a un point en mathématiques vous pouvez tout vérifier par vous-même

il

suffit d'appliquer les règles

et

vous pouvez déterminer par vous-même si quelque chose est juste ou faux c'est différent de toutes les autres sciences si on vous donne une loi biologique si on vous dit par exemple que les êtres vivants ont besoin de respirer pour vivre ou en tout cas les mammifères pour vérifier vous êtes bien embêté à moins de faire des expériences en étouffant votre voisin ou en arrêtant de respirer ou en faisant qui sait quoi et qu'est-ce que c'est la respiration ça va vous prendre un temps considérable

alors

qu'en mathématiques il suffit d'appliquer les règles et vous savez si c'est vrai oui ou non s'il

y a

une faute ou pas

donc

on pourrait penser que tout le monde peut comprendre les mathématiques et la dure réalité c'est que non

et

que même pour un mathématicien c'est difficile d'aligner les raisonnements mathématiques

la

vérité c'est que notre cerveau il n

'est

pas mathématique

même

si les règles de la logique quand on les décortique ce sont des règles qu'on accepte tous on ne

peut

pas avoir à la fois une chose et son contraire

par

exemple

même

si ces règles prises individuellement on les accepte le fait de les combiner dans un édifice qui est entièrement cohérent ça c'est pas naturel on n

'a

pas été formé pour ça et notre cerveau a été entraîné à réagir et à réfléchir avec d'autres mécanismes

des

mécanismes émotifs émotionnels souvent parfaitement irrationnels mais très efficaces pour nous sortir des problèmes dans la plupart des situations dans le texte suivant

je

vais juste garder la dernière phrase est-il nécessaire d'ajouter que les bons mathématiciens eux-mêmes ne sont pas infaillibles Poincaré dit ça et effectivement lui-même c'était pas un modèle de rigueur

quand

on lit les démonstrations de Poincaré souvent on n'est pas vraiment sûr de ce qu'il a démontré et

ça

lui est arrivé de faire des erreurs des erreurs grossières je dirais pas mais des erreurs lourdes de conséquences

on

va en parler Poincaré a été attaqué dans la presse à certains moments et on le voit dans cet ouvrage de recueil d'articles de journaux sur Poincaré dont je parlais pour des motifs absolument

pour

de mauvais motifs

il

s'agissait plutôt d'erreurs de communication que de vraies erreurs par exemple un jour Poincaré a dit dire que la Terre tourne cela aurait-il un sens s'il n

'y

a pas d'espace absolu peut-on tourner sans tourner par rapport à quelque chose et d'autre part comment pourrions-nous admettre la conclusion de Newton et croire à l'espace absolu

et

un peu plus bas ces deux propositions contradictoires la Terre tourne et la Terre ne tourne pas ne sont donc pas cinématiquement plus vraies l'une que l'autre affirmer l'une en yant l'autre sans cinématique ce serait admettre l'existence de l'espace absolu

ce

qu'a voulu dire Poincaré on le comprend très bien surtout maintenant où la relativité est passée par là et toute la notion que tout mouvement est relatif savoir si un mouvement se passe ou pas c'est aussi avoir fixé un référentiel un point de référence

et

Poincaré a développé donc ce point

c

'est plutôt bien écrit mais entre les lus par des lecteurs peu avertis c'est devenu Poincaré renie Galilée

et

la controverse se développe dans les journaux le saint mathématicien français déclare que la Terre ne tourne pas une révolution scientifique et tout ce que vous voulez

et

le courrier des lecteurs avec les garçons furieux et les jeunes filles en pleurent parce que tout ce qu'elles ont tout ce qu'ils ont appris s'écroule que la Terre ne tourne pas tout ce que vous pouvez imaginer

ça

c'était une erreur de communication aussi dans un contexte où le grand public était moins instruit qu'il naît de nos jours

mais

Poincaré aussi s'est manifesté pour de vraies erreurs mathématiques des vraies erreurs de spécialistes

la

plus célèbre sans conteste c'est celle qu'il a commise en 1887 sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique

je

vais vous rappeler un petit peu le contexte c'était un des le problème de la stabilité du système solaire l'un des problèmes les plus anciens de la physique mathématique un problème dont je vous parlais déjà il y a 18 mois

un

problème placé sous le signe de la compréhension des propriétés du système solaire et la réponse aux questions qu'on peut poser quand on est gamin qu'est-ce qui va se passer que notre univers est-ce qu'il va rester tel qu'on le connaît ou est-ce qu'un jour une grande catastrophe va se produire Kepler

nous

a appris

que

les planètes tournent autour du soleil en formant des ellipses

je

vous rappelle la définition d'une ellipse

une

ellipse c'est une figure que vous obtenez en plantant une corde avec deux piquets

et

en tirant la corde autant que vous voulez et en traçant la courbe que vous arrivez à former avec cette corde tendue

la

figure qu'on obtient était connue depuis l'antiquité grecque mais c'est là vous voyez le miracle de la mathématique à l'oeuvre personne parmi les grecs aurait pu deviner que cette même figure toute simple elle permettait d'écrire le mouvement des planètes il y

a

quelque chose de miraculeux derrière ça Kepler décrivait cette

formule

Kepler nous donne une seconde loi selon laquelle les airs sont balayés uniformément au cours du mouvement des planètes

et

puis une troisième loi qui relie le carré de la période

de

rotation des planètes autour du soleil

et

la distance du soleil

à

la planète considérée

si vous

voulez dans l'ellipse le demi-grand axe comme on dit la moitié de la grande longueur

et

cette relation là aussi c'est merveilleux c'est absolument merveilleux vous prenez les planètes vous regardez le temps qu'elles mettent à tourner autour du soleil comptez en année terrestre par exemple l'année martienne c'est 1,9 fois l'année terrestre

et

puis de l'autre côté vous regardez les distances moyennes par rapport à la distance soleil-Terre la distance soleil-mercure soleil-Vénus et ainsi de suite

et

dans ce jeu d'unités vous avez pris 1 pour la Terre si vous faites le carré du nombre qui est à gauche et le cube du nombre qui est à droite vous trouverez la même chose

pour

toutes les planètes avec une très bonne précision

ça

c

'est

remarquable et vous trouvez là une belle loi mathématique derrière des objets célestes très différents Voltaire

à

une époque où les physiciens où les philosophes pardon s'intéressaient très près au progrès technologique et aux sciences fondamentales de son temps

nous

écrit

qu

'Epler qui trouva cette proportion était bien loin d'en trouver la raison

un

bon philosophe qu'astronome admirable il dit que le soleil a une âme

non

pas une âme intelligente mais une âme végétante agissante

qu

'en tournant sur lui-même il attire à soi les planètes mais que les planètes ne tombent pas dans le soleil parce qu'elles font une révolution sur leur axe

en

faisant cette révolution dit-il elle présente au soleil tantôt un côté ami tantôt un côté ennemi

le

côté ennemi est repoussé ce qui produit le cours annuel des planètes dans les ellipses

il

faut avouer pour l'humiliation de la philosophie que c'est de ce raisonnement si peu philosophique qu'il avait conclu que le soleil devait tourner sur son axe l'erreur le conduisit par hasard à la

vérité vous

voyez donc dans ce texte écrit longtemps avant Poincaré le rôle de l'erreur

et

comment Voltaire insiste sur ce fait que le savant à l'oeuvre et l'astronome admirable Kepler ne parvient pas à son résultat par un raisonnement logique mais par une pure fadaise associée avec une excellente intuition de qu'est-ce qu'il faut regarder là encore cette même idée que Poincaré développera et redéveloppera selon laquelle c'est pas forcément un raisonnement logique et méthodique qui vous mène au résultat intéressant Kepler ajoute nous dit Voltaire que la masse du soleil la masse de tous les terres

et

la masse des sphères d'étoiles fixes sont parfaitement égales et que ce sont les trois symboles de la très sainte trinité

bon ça

se passe de commentaire

ça

se passe de commentaire et puis

pourtant

c'était grandiose Kepler

plus

tard arrive un autre illuminé

dans

l'histoire de la science si on en a connu un qui était à la fois génial et illuminé c'est bien lui à la fois un spécialiste d'alchimie

et

le fondateur de la science moderne de certains points de

vue avec

son ouvrage les Principia Mathematica un ouvrage d'une puissance inégalée dans lequel il développe le concept d'équations différentielles appliquées à la description du monde physique

une

avancée des certains physiciens comme Einstein ont dit que c'était l'avancée la plus importante peut-être jamais faite par un scientifique

et

Newton découvre les lois mathématiques

qui

permettent de mettre en équation ce mouvement des planètes qui semble insaisissable

avec

une seule loi qui vient remplacer les trois lois de Kepler la force entre deux planètes est proportionnelle au produit des masses divisé par le carré de la distance entre les planètes

avec

une seule loi Newton retrouve les lois de Kepler et comme on le comprendra plus tard il faudra encore un bon siècle avant qu'on arrive à vérifier ça la loi de Newton permettait d'expliquer toutes les observations astronomiques de l

'époque ça

c'est remarquable et là vous voyez une illustration magnifique de ce que disait Poincaré que faire de la mathématique se donnait le même nom à des choses différentes

là

où on voit des étoiles des planètes des comètes et tout ça Newton voit un principe la gravitation universelle

et

Newton comprend et c'est son grand effroi

qu'il

arrive à retrouver les lois de Kepler

avec le

soleil et la planète le fait que la planète est attirée par le soleil ça vous permet d'expliquer le mouvement elliptique de la planète autour du soleil c'est le problème des deux corps

le

soleil c'est un corps la planète c

'est

le deuxième corps

et

puis maintenant vous mettez un troisième corps allez mettons le soleil la terre et la lune

comme

la gravitation est universelle la lune attire la terre et ça fait que la terre n'est pas soumise seulement à l'action du soleil mais aussi à l'action de la lune ça va dévier un peu la trajectoire de la terre

est

-ce que pour autant on va avoir une belle orbite elliptique ben non l'orbite ne sera plus elliptique est-ce que ça sera presque elliptique est-ce que ça ressemblera à une ellipse probablement au moins pendant quelques années

mais

si on attend très longtemps est-ce que ça ressemblera encore à une ellipse voilà le problème des trois corps

quand

vous avez trois corps et la gravitation universelle que faire

vous

avez le bon modèle mathématique vous n'avez pas d'arguments physiques qui vous permettent de conclure

aucune

loi comprend Newton en particulier n'interdit que le système solaire soit soumis à des événements catastrophiques

c

'était ce problème de la stabilité du système solaire

je

vous en parlais déjà donc lors de mon dernier passage à Rennes mais c'est un problème fondamental

non

seulement pas tellement pour la question des applications parce que savoir si le système solaire va s'écrouler ou pas dans un million d'années c'est pas quelque chose qui nous tient directement à coeur encore que

on

pourrait discuter de ça je me souviens de ma fille extrêmement perturbée par le fait que le soleil va s'éteindre dans quelques milliards d'années extrêmement perturbée

on

pourrait discuter de ça mais surtout c'est un peu une question emblématique est-ce qu'on va arriver à prévoir sur de très grands temps l'avenir d'un système qui est déterminé par des équations qu'on connaît bien

dans

ce problème

il

faut plus rendre conscience qu'on a affaire à des échelles d'espace extrêmement différentes

la

Terre Vénus Mars

sont

de taille à peu près similaires Jupiter et Saturne sont bien plus grosses

regardez

la Terre par rapport à Jupiter

et

tout ça c'est vraiment de la rigolade excusez-moi par rapport au Soleil

ici

la Terre

ici

le Soleil

et

dites-vous bien que le Soleil par rapport à de grosses étoiles c'est une étoile minuscule

mais

si on s'intéresse qu'au système solaire évidemment c'est vrai que vu de la Terre

il

va y avoir l'influence du Soleil et l'influence de Jupiter mais quand même c'est surtout le Soleil qui va dominer

il

y a donc un petit paramètre

c

'est la masse de Jupiter par rapport à la masse du Soleil

c

'est de l'ordre de 1 millième

et

on se retrouve avec un problème mathématique vous avez un système que vous comprenez bien

qui

serait

la

Terre en interaction avec le Soleil sans l'interaction avec les autres dans lesquelles vous n'avez pas la masse d'autres planètes et puis vous perturbez un peu votre système avec l'action de ce petit paramètre qui est la masse de Jupiter relative à la masse du Soleil qu'est-ce qui va se passer pour le système perturbé

une

petite déviation sur votre système et qu'est-ce que ça implique sur le grand

temps

Newton avait conscience

à

quel point sont ces équations autorisées les événements

graves et

ils pensaient

qu

'il y avait une volonté divine à l'œuvre pour maintenir la stabilité du Soleil

c

'était le début d'une controverse avec qui mêlaient des philosophes des scientifiques

mais

les mathématiciens

Lagrange

Laplace et Gauss se sont remis à l'œuvre avec ces équations

et

avec les équations de Newton en les analysant finement ont réussi à montrer que le temps qu'il fallait attendre avant que la petite perturbation fasse son effet était très grand

Qu

'est-ce que ça veut dire très grand

? Si

vous avez une petite perturbation alors un nombre qui est petit en mathématiques on le note souvent epsilon et c'est le pouvoir des notations pour avoir une puissance évocatrice epsilon entre mathématiciens on voit tout de suite c'est un nombre petit

vous

avez un nombre epsilon qui est petit vous regardez quand est-ce que les effets d'une perturbation d'autre epsilon se font sentir typiquement c'est l'inverse de epsilon

Qu

'est-ce que je veux dire par là ? Si votre compte en banque perd un millième chaque année

au

bout de mille ans qui est l'inverse d'un millième

vous

avez la faillite Regardons le système solaire

on

a une perturbation qui est de l'ordre d'un millième

qui

s'applique tous les ans parce qu'une année c'est l'échelle de temps typique un tour de la planète autour du système solaire si c'est de l'ordre d'un millième on peut penser qu'au bout de mille ans le système solaire risque une catastrophe

On

sait que ce n

'est

pas vrai parce qu'il

y

a des milliers d'années on avait déjà un système solaire qui ressemblait à ce qu'il est maintenant On a des archives astronomiques sur ces ordres de grandeur

Ce

qui se passe c'est que et seule l'analyse mathématique le montre il faut attendre un temps beaucoup plus grand avant que les effets se produisent Ceci parce que les erreurs ne sont pas toutes dans le même sens Ce n

'est

pas comme votre compte en banque qui descend sans arrêt les erreurs dans le cadre du système solaire un coup ça augmente un coup ça diminue un coup ça augmente un coup ça diminue de sorte qu'au bout de mille ans vous n'avez presque pas bougé

Il

faut attendre non pas mille ans mais un million d'années mille fois mille avant que les erreurs aient une chance de se manifester Voilà ce qu'on comprend au 18e siècle et là c'était un triomphe mathématique un triomphe pour l'esprit humain pour la première fois dans l'histoire de l'humanité on pouvait prédire l'avenir du système solaire sur des échelles de temps beaucoup plus longues que tout ce que les archives astronomiques pouvaient fournir même beaucoup plus longues que l'espèce humaine Donc 1 sur epsilon carré ça c'était une avancée remarquable

mais

un mathématicien n'est jamais satisfait

de

savoir ce qui va se passer au bout d'un milliard d'années

C

'est ici qu'arrive le problème C'est ici qu'arrive Poincaré Poincaré reprend ce problème 1887 donc

on

est à peu près un siècle après la place Lagrange et Gauss

et

il étudie un problème qui est encore plus simple que le problème des trois corps on l'appelle le problème restreint des trois corps dans lequel l'un des trois corps va être de masse

nulle

ce qui veut dire en fait qu'il va subir l'influence des deux autres mais qui ne va pas influencer sur ces deux là

un

problème modèle pour mieux comprendre ce qui se passe mathématiquement même comme ça ça reste compliqué et c'est là que vous voyez que le monde mathématique a beau sembler compliqué il est en fait beaucoup plus simple que le monde réel la vérité c'est que le monde réel est monstrueusement compliqué et que quand on essaie de le comprendre on est obligé à le simplifier simplifier

Poincaré

étudie ça Poincaré était passionné par

toutes

les questions de physique de mécanique je lui

ai

dit qu'il était ingénieur il était aussi un grand physicien un grand astronome et il était passionné par ce problème de la représentation de la compréhension mathématique de l'univers

même

sur des modèles réduits comme celui-ci

et

Poincaré pense démontrer la stabilité

quand

la masse ici du troisième corps est nulle et par extension quand elle est très faible par rapport aux masses des deux autres

il

pense montrer pour caricaturer que jusqu'à la fin des temps ça va rester tel que c'est tel qu'on le voit maintenant et ceci même si c'est que pour trois corps ça vous donne l'idée que le système solaire reste stable jusqu'à la fin des temps

c

'était

un

travail extrêmement innovant dans lequel nombreux concepts nouveaux étaient introduits Poincaré avait présenté ce travail en réponse à un concours proposé par le roi Oscar II de Suède

sous

l'impulsion de l'ami de Poincaré Muitag les fleurs

et

Poincaré

présentant

son mémoire il a bien conscience que c'est révolutionnaire

et

de fait il gagne le concours au lamain

un

concours bien doté extrêmement visible Poincaré reçoit la gloire et une somme conséquente au sens où vraiment tout le monde parle de lui y compris dans les journaux vous le voyez dans les journaux grand public de l'époque on explique ce que le savant Poincaré a démontré comment il a fait avancer la compréhension du problème de la stabilité du système solaire

et

puis Patatra

arrive

un autre personnage

dans

l'équation

c

'est le jeune mathématicien

qui

plus tard deviendra un mathématicien de grand talent qui est chargé de relire les épreuves de l'article

vous

soumettez un article à une revue mathématique et ici ça devait paraître dans la revue

l

'une des revues les plus prestigieuses peut-être la plus prestigieuse du monde mathématique Acta Mathematica fondée par Gustav Mittagl et Fleur

et

le relecteur en charge de vérifier de débusquer les erreurs les petits problèmes dans l'article de Poincaré envoie une lettre au maître où il explique qu'il y a tel tel et tel problème ici il faut faire attention Poincaré renvoie une salve de correction ajoute des parties à son manuscrit pour le faire tenir debout

vous

avez ici aussi quelque chose qu'on voit quand on regarde l'historique de cet ouvrage quelque chose que j'ai essayé de traduire dans l'ouvrage que présentait Maët tout à l'heure le fait qu'un théorème mathématique c'est comme une maison que vous essayez de construire temps en temps il y a quelque chose qui risque de s'écrouler vous ajoutez un soutènement vous réparez ici vous consolidez par là et il s'agit de faire tenir le tout debout c'est quelque chose qui est très fragile dans la phase de construction Poincaré renvoie une salle de correction et puis

le

rélecteur lui renvoie une deuxième série

d

'erreurs qu'il a relevées

et

Poincaré cette fois réfléchit bien et doit se rendre à l'évidence tout est faux

il

y a une base importante dans son article sur laquelle l'ensemble repose qui est radicalement fausse c'est quasiment une erreur de débutant à un moment un endroit clé il y

a

un endroit où il a fait comme s'il était en dimension 2 alors qu'en fait il est en dimension 3 un raisonnement d'un truc qui devrait être unique qui n'est pas forcément ne s'applique pas et tout s'écroule

tout

s'écroule alors

qu

'est-ce que vous faites dans un cas comme ça vous êtes devenu célèbre pour un résultat qui est faux première chose il s'agit de ne pas le cacher et tout de suite Poincaré envoie une lettre à Mittag Leffler en lui disant vraiment qu'il s'excuse platement il explique qu'est-ce qu'il arrive que dans son manuscrit telles parties peuvent être sauvées ceci est faux le résultat final est compromis et ainsi de suite

Mittag

Leffler qui avait une sacrée résistance à la pression ne se démonte pas il rappelle tous les exemplaires de la revue qui avaient déjà été publiés et envoyés partout dans le monde il les rappelle tous en expliquant qu'il va leur envoyer une version plus propre qu'il

y a

une coquille dans telle page ou qui sait quoi il trouve un prétexte ici un prétexte là pour récupérer tous les exemplaires et il met tout au pilon

il

fait payer les frais à Poincaré heureusement Poincaré avait reçu le prix parce que sinon il n'aurait pas réussi à sortir la somme correspondante qui était plus élevée que le prix

il

met tout au pilon et puis là c'est le moment de réfléchir un peu tranquillement heureusement qu

'il

n

'y

avait pas internet pour garder la mémoire

de

toutes les bêtises que vous avez pu écrire et Poincaré il arrive à réparer l'erreur

il

comprend la cause de son erreur il comprend que là où il avait loupé quelque chose c'était précisément il y a deux courbes dans Poincaré il a un raisonnement où il introduit deux courbes

et

il se demande si ces deux courbes peuvent se croiser et il avait un raisonnement pour montrer qu'elles ne pouvaient pas se croiser que si elles se croisaient forcément elles étaient confondues les deux courbes et ça ça lui donnait la stabilité

finalement

il comprend que les deux courbes elles peuvent se croiser mais qu'il y

a

des règles précises pour le croisement

à

chaque fois que les deux courbes se croisent ça lui fournit une solution stable

on

appelle ça de nos jours le phénomène d'intersection homocline d'intersection parce que c

'est

les courbes qui se croisent et que c'est une façon de détecter des trajectoires stables

dans

votre système

et

Poincaré comprend à quel point c'est compliqué voici ce qu'il dit

que

l'on cherche à se représenter la figure formée par ces deux courbes et leurs intersections en nombre infinie non seulement les courbes elles peuvent se croiser mais elles se croisent une infinité de fois

c

'est bien bien pire que ce qu'il croyait

dont

chacune correspond à une solution doulement asymptotique traduisée une solution stable

ces

intersections forment une sorte de treillis de tissus

de

réseaux à mailles infiniment serrées chacune de ces courbes ne doit jamais se recouper elle-même mais elle doit se replier elle-même d'une manière très complexe pour venir couper une infinité de fois toutes les mailles du réseau on sera frappé de la complexité de cette figure que je ne cherche même pas à tracer vous avez une idée de ce que ça peut être sur cette simulation par ordinateur

alors

il a analysé les causes de l'erreur et Poincaré c'est là que

c

'est remarquable réussi à tout remettre sur pied

il

se retrouve avec un article entièrement corrigé cette fois qui tient debout avec la différence près qui démontre le contraire de ce qu'il avait cru démontrer

il

pensait avoir démontré la stabilité du système solaire et il se retrouve à avoir mis au jour tout plein de bonnes raisons pour lesquelles ça serait instable tout plein de situations dans lesquelles on n'arrive pas à prédire ce qui va se passer

c

'est la naissance avec les travaux concomitants de Jacques Adamard c'est la naissance de ce qu'on appelle maintenant la théorie du chaos

parce

que ces intersections qui sont si dures et si resserrées à détecter elles vous montrent précisément que partant d'une situation stable une toute petite variation peut vous mener dans une configuration instable l'instabilité aux conditions initiales une découverte scientifique majeure de la fin du XIXe siècle qui vous montre qu'à l'encontre de ce qu'on croyait au début de ce qu'on croyait au XVIIIe siècle même quand vous avez une équation

qui

prédit de manière certaine l'avenir d'un système

il

se peut que cette équation soit inutilisable en pratique parce qu'une minuscule incertitude de l'ordre d'un cheveu sur les conditions de départ va entraîner une erreur une différence considérable au bout d'un certain temps la sensibilité aux conditions initiales théorie du chaos ou encore un mot qu'on utilise régulièrement c'est l'effet papillon avec l'image utilisée que si vous avez le papillon qui bat de l'aile quelque part au-dessus du Brésil peut-être qu

'il

va se mettre à pleuvoir ici à Rennes c'est très contestable d'ailleurs dans un cadre météorologique cette image du papillon

mais

dans certains domaines ça marche très bien et dans le système solaire ça marche très bien

la

théorie du chaos va continuer son chemin et s'appliquer à quantité de systèmes autres que le système solaire

ici

l'un des symboles l'un des héros de cette théorie du chaos c'est l'attracteur étrange découvert par le météorologue Lawrence en analysant un système extrêmement réduit extrêmement simplifié de météorologie

et

il découvre cette figure cet attracteur certaines trajectoires qui sont en un certain sens qui attirent les autres mais qui ne sont pas si stables que cela et qui vous donnent une idée de à quoi ressemble le comportement en temps grand le comportement asymptotique d'un système

qui

est régi par ces équations vous avez parlé de la SCAR la dernière fois laissez-moi sauter la SCAR je vais vous dire quelques mots sur la SCAR quand même on ne

s

'en lasse pas

la

SCAR

c

'est celui qui a

à

un moment où on avait perdu la foi un peu dans ce modèle chaotique de Poincaré pour le système solaire qui l'a réhabilité qui a montré que Poincaré avait vu parfaitement juste là-dedans

non

seulement avec des équations mathématiques mais avec la simulation numérique simulation numérique du système solaire sur des dizaines de millions d'années qui vous montre que le système solaire est peu prédictible au-delà d'un petit nombre de dizaines de millions d'années 60 millions d'années c'est à la limite établi par la SCAR aucune prédiction raisonnable des positions des planètes du système solaire ne peut être faite au-delà de 60 millions d'années en particulier la SCAR

et

c'est quelque chose d'assez récent a mis en évidence que quelque part dans le système solaire il y a deux astéroïdes Cérès et Vesta

quelque

part dans la ceinture qui est entre Mars et Jupiter

dont

la masse

doit

être de l'ordre de quelque chose comme le milliardième de la masse du Soleil dont les trajectoires sont arrangées de telle manière qu'il vous suffit de bouger maintenant Cérès dans la direction de Vesta de quelques centimètres

pour

que 60 millions d'années plus tard ça se traduise en une variation considérable des distances entre le Soleil et la Terre disons et donc il y a ce mécanisme d'effet papillon qui s'applique dans le système solaire ce qui tiendrait lieu de battre Mandel-Papillon c'est l'agencement de ces satellites Cérès et Vesta qui sont placés d'une manière qui les rend particulièrement influents pour le reste du système solaire Lascar

pour

arriver à ça il a marié la vision de Poincaré vision qualitative étude des équations aux dérivés aux différentiels avec l'avancée technologique majeure du 20ème siècle du milieu du 20ème siècle les ordinateurs

les

ordinateurs

technologie qui

a progressé en termes de puissance en termes de rapidité en termes de capacité d'un facteur environ 1000 milliards depuis son invention au milieu du siècle du 20ème siècle

et

qui est venu

en

renfort

de

toutes les théories qualitatives d'équations différentielles d'équations aux dérivés partiels de tous les modèles de physique mathématiques employés fournissant une vraie résonance pour ces modèles contrairement à ce que beaucoup de gens

pensent ou

espèrent les ordinateurs ne vous dispensent pas de comprendre les modèles mathématiques

ils

viennent en appoint si vous travaillez avec la mauvaise équation mathématique votre ordinateur vous donnera un résultat parfaitement faux

mais

quand vous alliez la bonne théorie mathématique avec le bon calcul informatique vous avez ce qu'il vous

faut ici

j'ai représenté les trois pères fondateurs si on peut les trois bonnes fées qui se sont penchées sur le berceau de l'ordinateur

tous

les trois à la fois mathématiciens et ingénieurs

ici

vous avez Claude Shannon le père de la théorie de l'information on peut lui rendre hommage chaque fois qu'on envoie un message comment est-ce qu'il faut chiffrer les messages la capacité du canal de transmission tout ça ce sont des questions que Shannon a posées le premier de manière abstraite d'une façon qui était révolutionnaire ici nous avons John von Neumann hongrois d'origine l'un des têtes pensantes du projet Manhattan aux Etats-Unis pendant la guerre

et l

'un de ces martiens que j'évoque aussi dans un de mes chapitres de mon livre c'est scientifique hongrois du début du 20ème siècle des années 20 30 40

très

grande majorité juifs qui ont simplement révolutionné le monde et dans l'héritage duquel nous vivons encore parce qu'il s'est fait qu'à ce moment-là à Budapest il y avait une ambiance de travail une ambiance d'innovation qui a produit quelques-uns des cerveaux les plus influents du siècle dans un peu tous les domaines des sciences dures mathématiques physique-théoriques et puis ici le troisième

qu

'il reconnaît

Alan

Turing bien sûr dont nous fêtons le centenaire de la naissance cette année

Alan

Turing l'un des héros de la seconde guerre mondiale celui qui a permis de craquer le code secret utilisé par les sous-marins allemands avec un avantage considérable que ça impliquait pour les alliés connu également pour son destin tragique puisqu'il s'est suicidé après avoir été après avoir subi un traitement infamant pour guérir entre guillemets son homosexualité revenons sur Poincaré j'insistais sur ces travaux de l'ASCAR et l'analyse mathématique du système solaire d'un côté ça reposait sur un pilier technologique qui sont les ordinateurs de l'autre côté ça reposait sur un pilier conceptuel les théories de Poincaré le chaos et le hasard théories donc issues développées à partir de cette erreur magistrale de Poincaré Poincaré

mettez

le doigt sur quelque chose sur un phénomène important important qui est de se rappeler à l'esprit la théorie du chaos c'est pas seulement dire que les choses sont imprédictibles c'est aussi dire que l'imprédictibilité individuelle vient souvent avec la prédictibilité statistique

une

loi fondamentale qui s'applique à énormément de choses et qui est une des découvertes majeures associées au développement des probabilités au cours des derniers siècles

on

va en parler peut-être s'il

y

a une seule chose que vous avez que vous pouvez retenir de cet exposé c'est celui-ci je vais le décliner sous plusieurs formes et ce jusqu'à la fin de l'exposer imprédictibilité individuelle bien avec la prédictibilité statistique alors regardons un peu ce que nous dit Poincaré avec des phrases un peu surprenantes c'est grâce au hasard c'est-à-dire grâce à notre ignorance que nous pouvons conclure

vous

me demandez de vous prédire les phénomènes qui vont se produire

si

par malheur je connaissais les lois de ces phénomènes je ne pourrais y arriver que par des calculs inextricables et je devrais renoncer à vous répondre

mais

comme j'ai la chance de les ignorer je vais vous répondre tout de suite

et

ce qu'il y a de plus extraordinaire c'est que ma réponse sera juste

qu

'est-ce qu'il a voulu dire le cher Henri avec cette phrase sibylline on va essayer de comprendre on va comprendre

et

on va méditer aussi sur ce que disait Lorenz

j

'avance l'idée qu'au fil des années les petites perturbations ne modifient pas la fréquence d'apparition des événements tels que les ouragans

la

seule chose qu'ils peuvent faire c'est de modifier l'ordre dans lequel ces événements se produisent

on

ne va pas réussir à prédire nous dit Lorenz si tel jour à telle heure il va pleuvoir sur Rennes ou pas mais on va réussir à prédire combien de jours il va pleuvoir en moyenne dans l'année c'est ça qu'il a en

tête

revenons un petit peu

dans

l'histoire sur une aventure humaine importante

la

façon dont on a apprivoisé le hasard au cours des siècles 1700 Jacques Bernoulli pose le problème des statistiques

vous

lancez une pièce en l'air

est

-ce que vous pouvez dire quelque chose d'intelligent sachant que vous êtes incapable de prédire si ça va retomber côté pile ou côté face il y a quelque chose d'intelligent que vous pouvez prédire c'est qu'en gros une fois sur deux ça sera côté pile une fois sur deux côté face si votre pièce n'est pas truquée

c

'est la loi des grands nombres dont on sert sans arrêt par exemple chaque fois qu'on fait un sondage pour prédire vous faites sur un petit échantillon pour savoir ce qui va se passer à grande échelle le jour de l'élection c'est cet déterminisme statistique qui nous permet d'effectuer le sondage

en

1730 Abraham de Moivre découvre la fonction la plus importante de toutes les probabilités la fonction gaussienne ou courbe en cloche

pour

ceux qui savent ce qu'est une exponentielle en gros l'équation c'est exponentielle de moins x au carré

cette

courbe en cloche

on

la retrouve partout

on

la retrouve partout chaque fois qu'on a affaire à des événements aléatoires

qui

se cumulent

et

qui sont indépendants

et j

'en reparlerai un peu tout à l'heure c'est une des un des c'est peut-être le théorème le plus marquant qu'il y a dans toutes les branches de la mathématique à mon avis la loi gaussienne on va en reparler

peu

après de Moivre arrive l'expérience remarquable sur laquelle on va méditer de Buffon

l

'expérience de l'aiguille Buffon on le connaît comme un grand naturaliste français le père du jardin des plantes tel qu'il est maintenant à Paris et puis aussi quelqu'un qui s'est intéressé beaucoup beaucoup aux sciences en général et ici un problème mathématique problème de Buffon vous avez un parquet ici

avec

des rainures

et

puis une aiguille vous allez la prendre exactement l'écartement entre deux rainures lâchez votre aiguille sur le parquet lâchez-la n'importe comment de la manière la plus imprédictible possible vous lancez l'aiguille en l'air vous la jetez sauvagement vous faites tout ce que vous pouvez avec l'aiguille et vous comptez combien de fois en proportion elle va rencontrer l'une des rainures ici là sur quatre lancés

deux

fois ça vient croiser une rainure

vous

comptez deux sur quatre

et

vous recommencez l'expérience mille fois dix mille fois un million de fois si vous êtes patient et la proportion de fois que ça croisera l'une des rainures deviendra très proche de deux sur pi

pi

c'est 3,14 donc environ deux tiers

vous

avez là la manifestation parfaite de quelque chose qui est à la fois imprédictible individuellement et parfaitement prédictible de manière statistique si vous essayez de savoir si l'aiguille va ou pas franchir la rainure la rencontrer il vous faut résoudre des équations démentes les équations de l'aiguille qui est en vol la façon dont vous l'avez envoyé c'est monstrueux il vous faut des ordinateurs monstrueusement puissants pour y arriver

mais

si vous vous en fichez complètement vous dites que vous ignorez ça vous appliquez seulement la loi statistique vous trouvez ces deux tiers en statistique c'est de ça qui veut parler Poincaré on n'a pas besoin de savoir le détail du lancement d'aiguille pour arriver à ça et dans beaucoup de systèmes physiques c'est comme ça même si vous êtes incapable de prédire ce qui va se passer individuellement en statistique vous y arriverez

et

plus vous avez d'incertitudes au niveau individuel meilleur sera l'accord au niveau statistique en 1810 Laplace formalise cela sous le théorème de la loi des erreurs

qui

vous dit que la moyenne statistique d'un grand nombre de tirages aléatoires présente des fluctuations gaussiennes selon cette courbe et ce quel que soit le signal que vous observez

que

ce soit les fluctuations de la taille des individus ou celle du niveau des océans ou celle des erreurs dans un sondage quel que soit les phénomènes que vous observez au moment de très grande gamme de phénomènes que vous observerez il y

aura

toujours cette même courbe gaussienne

une

universalité sidérante En 1846 Adolf Ketelet s'en empare dans le domaine dans le domaine de sciences sociales

il

découvre par exemple que les statistiques des meurtres ou des crimes qui sont commis à tel ou tel endroit ça obéit très précisément à la loi des grands nombres et à la loi de la gaussienne alors que ce sont des choses qui semblent n'avoir pas du tout être déterminées Francis Galton l'applique aux êtres vivants

voici

ce qu'il nous dit

il

appelle ça la loi suprême de la déraison on est en 1889 on est juste deux ans après la fameuse erreur de Poincaré et son travail sur le système solaire

je

ne connais à peu près rien d'aussi apte à impressionner l'imagination que la forme magnifique d'ordre cosmique exprimée par la loi de la fréquence des erreurs

la

loi aurait été personnifiée par les grecs et déifiée s'ils l'avaient

connue elle

règne avec sérénité et sans se faire remarquer dans la plus complète confusion dans la confusion la plus sauvage

plus

la foule sera grande plus l'anarchie sera importante

plus

parfaite sera l'application de la loi

c

'est la loi suprême de la déraison chaque fois qu'on regarde un grand échantillon d'éléments chaotiques

et

qu'on les qu'on les met ensemble qu'on les moyenne et qu'on les met en rapport avec leur ordre de grandeur surgit une forme qu'on ne soupçonnait pas extrêmement belle de régularité qui était là depuis

toujours

et il a raison de s'étonner Galton ça c'est assez extraordinaire

en

1921 Paul Lien nous montre que le même genre de phénomène de loi statistique on le retrouve derrière des phénomènes physiques comme le problème du marcheur aléatoire le marcheur ivre on va dire que c'est un modèle d'une particule qui se déplace au hasard qui va diffuser dans un milieu on appelle ça le problème du marcheur ivre

vous

sortez d'une soirée extrêmement arrosée vous ne savez plus rentrer chez vous vous marchez au hasard tout ce que vous pouvez faire à chaque instant c'est d'aller soit avant soit arrière soit à gauche soit à droite sans jamais vous souvenir de

ce

que vous avez fait un instant auparavant

et

donc vous allez complètement au hasard impossible de prédire ce qui va vous arriver juste après impossible de prédire vous serez dans dix

coups

et pourtant on arrive à déterminer les lois statistiques de ces choses là par exemple on arrive à prouver que le marcheur revient toujours au point de départ avec probabilité 1

en

dimension 3 ça ne serait pas vrai

si

vous regardez le problème du poisson aléatoire qui se déplace dans l'océan sans savoir où il va revenir et qui peut aller vers le haut ou vers le bas en même temps que droite, gauche ou avant, arrière il va revenir avec seulement une probabilité 1 tiers

mais

la loi statistique elle s'applique parfaitement et d'autant mieux qu'à chaque instant on ne sait pas dans quelle direction on va aller toujours le même principe incertitude individuelle

et

certitude au niveau statistique

et

là on arrive

vers

la deuxième erreur de Poincaré et c'est triste qu'il ait commis la deuxième erreur parce que Poincaré il avait toutes les cartes en main

pour

ne

pas

la faire

mais

ça s'inscrivait dans un contexte extrêmement intéressant contexte révolutionnaire

des

années 1865-1875 dans lequel on va récupérer les lois statistiques mises au jour en particulier par les Galton, Ketelet Laplace celles dont j'ai parlé et on va les appliquer à la physique statistique

à

la physique des gaz par exemple

à

la physique des fluides

les

deux personnes qui ont fait cette révolution les voici Maxwell

et

Boltzmann les deux pères fondateurs

ici le

vieux Boltzmann

ici

le jeune

Boltzmann

la comparaison des deux images illustrant bien la flèche du temps que Boltzmann est célèbre

pour

avoir mis en évidence de manière mathématique à travers la loi

de

croissance de l

'entropie

Boltzmann

dans

son travail extrêmement célèbre sur l'équation de Boltzmann décrite auparavant par Maxwell applique les mêmes principes des fluibilités à l'étude des particules et montre que même si dans un gaz les trajectoires des particules sont absolument imprédictibles

la

statistique des particules est parfaitement prédictible

et

vous pouvez déterminer avec une très grande précision comment vont s'exercer les forces les pressions les vitesses du gaz autour d'un écoulement autour d'une aile d'avion autour d'un être vivant et ainsi de suite et Boltzmann armé de cette équation

armé

de cette équation

qui

sert de nos jours à la fois aux ingénieurs et aux terriciens de la physique des gaz armé de cette équation et qui donc représente le mouvement d'une très très grande quantité de particules qui se cognent les unes contre les autres de manière parfaitement chaotique

arrive

à une découverte scientifique majeure qui est celle qui a une notion d'entropie une notion de désordre inhérent à un système physique que vous observez avec vos yeux macroscopiques et que ce désordre ne peut qu'augmenter avec le temps

on

va toujours vers la situation la plus désordonnée qui soit

qui se puisse c

'était choquant pour beaucoup y compris pour Poincaré parce que pour arriver à cette conclusion laissez-moi ici je vais je vais sauter quelques petits passages dans ma présentation juste vous présenter ici l'équation de Boltzmann admirez sa belle beauté admirer sa beauté formelle cette équation elle décrit à la fois le fait que les particules ont envie de se déplacer en ligne droite et que sans arrêt elles se rencontrent les unes les autres elles se collisionnent de manière tout à fait chaotique

et laissez

-moi sauter ça et arriver ici Boltzmann montre que sous l'effet de ces processus microscopiques aléatoires

et

qui sont chacun d'entre eux réversibles l'entropie augmente

toujours on

va l'illustrer

sur

ce petit exemple

où

vous avez

une

boîte

coupée

en deux

dans

un compartiment

du

gaz

dans

l'autre compartiment du vide

et

vous vous demandez qu'est-ce qui va se passer quand je vais retirer la séparation entre les deux compartiments

le

calcul est extrêmement compliqué

si

vous avez des milliards de milliards de particules ici

le

calcul la résolution exacte va être impossible

et

puis il va y avoir des phénomènes d'imprédictibilité de chaos de sensibilité aux conditions initiales qui fait que vous n'en sortirez pas savoir si cette particule là

au

bout de 10 minutes elle va être à droite ou à gauche impossible de s'en sortir

vous

êtes face à une situation très imprédictible au niveau individuel des particules

mais

pourtant très prédictible au niveau statistique au niveau de ce qui va arriver à l'ensemble des particules

et

on sait bien ce qui va se passer les particules elles vont avoir tendance à s'engouffrer dans le vide qui est formé qui est à leur disposition quand vous avez retiré la paroi

on

a envie de parler de force attractive du vide

le

vide qui aspire la matière

mais

dans la théorie de Boltzmann si le vide attire ce n

'est

pas du tout parce qu'il

y a

une force c'est simplement parce que le gaz a envie d'être le plus désordonné possible le gaz va spontanément évoluer vers une configuration dans laquelle il est autant difficile que possible de savoir où se trouve une particule donnée

et

cet état c'est l'état dans lequel tout le compartiment sera occupé de sorte qu'une particule on ne pourra pas savoir a priori s'il est à droite à gauche ou quelque part

l

'état de désordre maximal l'état dans lequel les possibilités offertes au gaz sont les plus importantes

un

modèle

que

vous pouvez garder en tête c'est la cour d'école les étudiants les petits élèves à l'école primaire vont sortir bien en rang disons à le moment de la récréation on les laisse faire ce qu'ils veulent et ils vont spontanément se mettre dans des configurations telles que toute la cour sera occupée

pas

parce qu'il y

a

un plan d'ensemble d'aller vers les endroits où il n

'y

a personne mais simplement parce qu'ils vont se mettre à aller en tous sens de manière désordonnée sans prêter attention les uns aux autres et spontanément ils évolueront vers un état de désordre maximal un état dans lequel toute la cour est occupée

c

'est ça que Boltzmann modélise et prédit grâce à sa théorie

les

nombres mis en jeu sont monstrueux absolument sidérants

si

vous prenez par exemple 10 puissance 17 particules dans votre boîte 10 puissance 17 c'est pas du tout c'est pas du tout aberrant

le

nombre de possibilités offertes au gaz en occupant toute la boîte entière par rapport au nombre de possibilités offertes au gaz en occupant seulement la moitié de la boîte et

si

vous voulez le comparer au rapport entre le volume de la galaxie par rapport au volume du proton essayez d'imaginer la galaxie par rapport au proton

vous

êtes très en deçà de la réalité

il

vous faut encore reprendre à l'intérieur du petit proton imaginez qu'il est aux dimensions de la grosse galaxie reprendre un proton à l'intérieur et recommencer encore et encore 200 000 milliards de fois

vous

voyez

le

genre de nombre contre lesquels on se bat l'imprédictibilité individuelle elle va être aussi grande que ce genre de nombre

et

à contrario la valeur de la prédiction basée sur l'entropie elle va être d'autant meilleure

du

fait qu'il y

ait

des nombres si grands mis en jeu la prédiction de Boltzmann elle est extrêmement sûre le fait qu'on va aller vers l'état d'entropie maximale et on va retomber sur une distribution gaussienne des vitesses correspondant au maximum de désordre c'est le genre de problème sur lesquels par exemple j'ai travaillé pendant des années et des années dans ma thèse comprendre ce genre de phénomène comprendre l'augmentation de l'entropie

ça

c'est embêtant pour des gens comme Poincaré il y avait quand même un problème grave

s

'il y

a

une augmentation de l'entropie alors il y a une fèche du temps

il

y

a

un avant et un après pourtant les équations de Newton

elles

ne voient pas vraiment d'avant et d'après si vous renversez le temps dans les équations de Newton les équations de petites particules c'est les mêmes équations

vous

ne faites pas la différence entre un film projeté vers l'avant et un film projeté vers l'arrière de quelques boules de billard et Zermelot au Poincaré note qu'il semble y avoir une erreur dans le raisonnement de Boltzmann ça ne marche pas

parce

que par exemple

il

y

a

ce théorème de récurrence de Poincaré un théorème respectable qu'il a démontré d'ailleurs dans son fameux manuscrit de 1887 qui dit que si vous partez d'une configuration comme ça

vous

attendez un certain temps

le

système est un système réversible conservatif

il

va arriver un moment où toutes les particules vont revenir presque à leur position de départ

il

va arriver un moment où tout le gaz sera de retour dans le compartiment de droite et ça c'est un théorème respectable que vous pouvez même vérifier par vous-même évidemment si le gaz a tendance à revenir dans le compartiment de droite un jour c'est en contradiction avec le principe de Boltzmann d'augmentation de l'entropie alors où est l'erreur

? l

'erreur

elle

est d'abord dans les échelles de temps

le

temps qu'il vous faut avant que ça revienne dans le compartiment de droite il est tellement grand que les lois de l'univers auront cessé de s'appliquer depuis longtemps je veux dire même pas on est dans des nombres aussi grands que ce que je vous ai montré tout à l'heure

et

puis aussi l'erreur elle est dans le fait qu'on oublie le fait que on ne connaît jamais on ne peut pas mesurer le système de manière parfaite

tout

ce qu'on peut mesurer ce sont des statistiques

et

les statistiques elles vont obéir à des lois

qui ne

sont pas du tout les mêmes la statistique on va la remplacer avec une très bonne approximation par l'équation de Boltzmann les particules elles sont en très grand nombre c'est presque comme si elles étaient en nombre infini la description avec un nombre de particules infini ça c'est la bonne description et celle-ci il

n

'y

a

aucune contradiction à ce qu'elle soit irréversible Poincaré

n

'a pas mis en doute le fait que l'entropie augmente mais le fait que le raisonnement de Boltzmann soit valable et qu'on puisse le mettre sur pied

dans

ce texte du mécanisme d'expérience 1893 regardons un petit un petit exemple par exemple il dit que

on

va regarder ici celui-ci voilà il parle de Maxwell toutes les difficultés ne sont pas vaincues cependant un théorème facile à établir nous apprend qu'un monde limité soumis aux seules lois de la mécanique repassera toujours par un état très voisin de son état initial

c'est ce que je

vous disais à l'instant théorème de récurrence de Poincaré je ne sais si l'on a remarqué que les théories cinétiques anglaises peuvent se tirer de cette contradiction

le

monde d'après elle tend d'abord vers un état où il restera longtemps sans changement apparent et cela est conforme à l'expérience mais il ne s'y maintiendra pas toujours de sorte que le théorème cité plus haut n'est pas violé

etc

cet état ne sera donc pas la mort définitive de l'univers mais une sorte de sommeil d'où il se réveillera après des millions de millions de siècles

encore

plus loin on voudrait pouvoir s'arrêter à cette étape et espérer qu'un jour le télescope nous montrera un monde en train de se réveiller où il doit la thermodynamique seront renversés malheureusement d'autres contradictions surgissent Maxwell fait d'ingénieux efforts pour en triompher mais je ne suis pas sûr qu'il y ait réussi

on

est forcé de faire quelques hypothèses simplificatrices sont-elles légitimes sont-elles même conciliables entre elles je ne le crois pas

il

n'est pas besoin d'un long examen pour se défier d'un raisonnement où les prémices sont en contradiction au moins apparente avec la conclusion où l

'on

trouve en effet la réversibilité dans les prémices et l'irréversibilité dans la conclusion ainsi l'on n'est pas arrivé à tourner la difficulté qui nous occupe il est peu probable qu'on n'y parvienne jamais conseil

ne

dites jamais il n'est peu probable qu'on ne parvienne jamais

à

faire telle ou telle chose

à

chaque fois il y

a