Cédric VILLANI - Introduction à la théorie de la mesure (intégration de Lebesgue) - Extraits

Et bonjour tout le monde. Bonjour. Tout va bien ?

Et ben c'est parti. Cette année, on va parler théorie de la mesure. Et en pratique, quand on dit théorie de la mesure, on entend par la intégration.

Alors, on peut parler théorie de la mesure comme une mesure de quelque chose, un phénomène physique ou ce qu'on veut ou théorie de la mesure quand on mesure une quantité, un objet dans lequel on va se retrouver à calculer des longueurs, calculer des surfaces, calculer des volumes, calculer n'importe quelle quantité, on doit mesurer toutes les les composants, toutes les parties. Et c'est bien dans ce second sens qu'on va entendre mesure ici. Donc, quand on théorie de la mesure, en pratique, c'est une théorie de l'intégration.

Et euh la la l'intégration qui s'est imposée, on va y revenir, c'est la théorie de l'intégration de le C'est une année un peu spéciale pour enseigner ça puisque c'est l'année des 150 ans de le avec des célébrations qui vont avec sur le site de l'Académie des Sciences. Quelque part, vous trouverez une célébration de Lebec. C'est moi qui ai été invité par l'académie à écrire le petit Layus qui évoquait les 150 ans de Leb et de ses contributions.

On y reviendra. Et pour commencer dans cette première séance, on va parler de contexte historique et de motivation. Pourquoi une théorie de l'intégration ?

Pourquoi est-ce que ça demande spécifiquement être une théorie ? Pourquoi ça des revu plusieurs fois ? Pourquoi celle de Leb en particulier s'est imposée ?

Cette première séance sera donc un peu plus générale qu'on verra sur l'introduction, un peu plus générale que que les suivantes qui seront l'occasion d'accomplir. Si le début vous semble un peu trop simple, n'ayez pas peur, ça se compliquera tant. Dans la théorie de Leb, il y a tellement de paradoxes et de choses qui sont incluses dans l'outil puissant que même pour les spécialistes, même pour les experts, même pour des gens comme moi qui ont utilisé des littéralement des centaines de milliers de fois dans leurs écrits et leurs formules d'intégrale, il reste des choses qui sont presque mystérieuses.

Euh Fourrier dégage les principes fondamentaux de ce qu'on appelle maintenant l'anil de Fourrier. Premièrement, toute fonction pas trop débutante peut s'écrire, peut se développer comme une somme de sinusoïdes qui sont comme des comme un alphabet élémentaire dans lequel on peut écrire toutes les fonctions. Deuxièmement, on reviendra sur tout ça plus tard mais mais ici on est sur le grand la presque historique.

Deuxièmement, plus la fonction est lisse, moins les grandes fréquences sont représentées. Donc en lien ainsi entre la régularité et ses coefficients de fourriers qui sont tenus par des formules intégrales. Il a un troisième principe qui est pas explicité du moment trouver qui sera plus tard qu'on appelle aujourd'hui principe d'incertitude disant que c'est impossible qu'un signal soit à la fois parfaitement localisé en fréquence et parfaitement localisé en en position.

En tout cas, faut qu'il dégage ces grands principes et il fait le lien donc entre intégration et régularité. Et et ça c'est un nouveau chapitre de l'analyse qui se qui s'ouvre dans lequel on pourra parler de régularité avec le langage de l'intégration. Et du fait qu'on est amené pour résoudre ces équations de la physique à résoudre des équations portant sur des fonctions un peu quelconque, il va y avoir une motivation considérable pour généraliser la notion de fonction.

On va encore moins qu'avant travailler sur des fonctions explicitement données par des formules mais se demander qu'est-ce que c'est qu'une fonction en général ? Qu'est-ce que c'est que l'ensemble des fonctions ? et sont des préoccupations qui se développent au cours du 19e siècle vers la deuxème moitié 1850 jusqu'à fin du 19e siècle, on se retrouve à à travailler de plus en plus sur des fonctions générales ou générique et à développer le langage la théorie des ensembles et puis analyse l'analyse est reprise à ses bases.

Les grands noms de l'époque sont Cantor pour la théorie des ensembles strass et Riman. De cette époque, les années 1850, date l'intégrale de Riman. Tout le monde ici a suivi un cours sur l'intégrale de Riman.

Qui n'a pas suivi de cours sur l'intégral de Riman ? C'est personne euh dans tous les cas, on reviendra dessus mais c'est pas mal en préliminaire de se rafraîchir que vous rafraîchissez les idées sur l'intégrale de Riman. Que dit Riman ?

On se donne une fonction ici, elle a alors on va pas la dessiner continue, on va pas la prendre continue. Elle peut être a priori régulière. Voilà.

Mettons que là elle soit comme ça, soit comme ça, comme ça et la valeur soit là. Et on veut en trouver l'intégrale au tout début. Une des premières méthodes quand il y avait le calcul différentiel au début une des premières méthodes de calcul d'intégral c'est trouver une primitive.

Une fois qu'on a une primitive la différence des valeurs de la primitive vous donne l'intégrale sur l'intervalle correspondant. Si vous avez pas de de primitive, vous avez cherché à à à raisonner en fonction d'air sous la courbe. Et Riman vous dit ce qu'on sait calculer, les R qu'on sait calculer, c'est celles qui sont faites de union de rectangle parce que l'air d'un rectangle, on sait ce que c'est et donc l'air d'une fonction dont le graphe est un ensemble de rectangles, on saura ce que c'est.

Et donc on va chercher à approcher la fonction par au-dessus et par en dessous par des fonctions dont le graphe est une série de rectangles, des fonctions en escalier, chose comme ça, par au-dessous et par au-dessus et ainsi de suite et on définit l'intégrale d'une fonction en escalier. Alors même ça, il y a un petit raisonnement à faire parce que là je vous écris une fonction en escalier. Évidemment, elle est donnée par un ensemble fini de données.

Ce sont les intervalles et les valeurs. Mais il faut vérifier que c'est indépendant du choix. de ces intervalles.

Par exemple, là, quand je vois le graphe de la fonction, mais sans que ce soit là-dessus, j'ai bien évidemment envie de la découper en 5 intervalles. Mais si ça se trouve, ne sachant pas exactement les valeurs, j'aurais envie de la développer en sep intervalles plutôt, en subdivisant certains intervalles. Évidemment, c'est cohérent.

Il un petit raisonnement à faire pour bien le montrer que quelle que soit la façon dont ma fonction s'écrit comme une somme de fonction indicatrice d'intervalle, quand je vais ajouter toutes les airs des rectangles qui constituent le graphe, j'obtiendrai le même nombre à la fin. Et ce nombre, ça va être l'intégrale de la fonction en escalier. Alors si ici la longueur est égale à ai et la valeur ici c'est l'axe zéro et et la valeur est égale à à Yi.

L'intégrale de cette fonction f ici ce sera la somme des ai yi. Alors, on définit l'intégral de fonction en escalier et puis on regarde, on considère d'une part la plus grande intégrale sub des intégrales de f de g que g est en escalier et g est inférieur ou égal à f et d'autre part la plus petite intégrale de fonction en escalier majeur Je rend la fonction f H escalier et H supérieur égal à si ces deux nombres sont égaux, on dit que F est riman intégrable et l'intégrale au sens de Riman de F c'est égal à cette valeur valeur commune à la fois le supégrale des fonctions en escalier minor et l'inf des intégral de fonction en escalier majore. Est-ce qu'ici tout va bien ? entendu.

Oui. On est dans une époque où il y a besoin de s'approprier autant que possible les les différentes notions, de raisonner de plus en plus notre traitement et encore ça suffira pas puisqu'on se rend compte au tout début du 20e siècle qu'il y a des problèmes logiques impossibles à résoudre dans le niveau de formalisme qui était là. C'était le fameux paradoxe de Russell et autres. et et vous avez une nouvelle couche de refonte et de redéfinition sur ses bases de l'ensemble de l'édifice mathématique au début du 20e siècle.

C'est précisément à ce moment-là que surgit le chapitre suivant dans l'histoire qui s'appelle l'intégrale de l'ÉP. Alors, qu'est-ce qu'on va dire sur le le contexte dans l'intégrale de le P ? D'abord, on est dans un contexte français, c'est pas seulement pas seulement le beg mais aussi c'est contemporain Borel et Ber qui sont occupés à qui s'intéressent à définir ce que comment décrire les ensembles de façon générale, les ouverts, les fermés, leurs unions, leurs intersections, quels sont les ensembles qu'on peut conspirer, définir, manipuler et donc c'est ce qu'on appelle les ensembles mesurables, les ensembles boréliens. bien les ensembles une sorte de paire.

On reviendra là-dedans. Mais donc il y a ce contexte de mathématique française on s'intéresse à l'inscription d'ensemble et le B qui arrive et qui va avoir la bonne façon de gérer les choses pour définir l'intégralité. Donc ça c'est le chapitre suivant tout début du tout début du 20e siècle.

C'est dès la thèse qu'apparaît sa sa mesure. Mesure de Leb écoutez-le vous en parler. Le B je dois payer une certaine somme.

Je fouille dans mes poches et j'en sors des pièces et des billets de différentes valeurs. Je les verse à mon créancier dans l'ordre où elle se présente jusqu'à atteindre le total de ma dette. C'est l'intégrale de Riman.

Mais je peux opérer autrement. Et en sortit tout mon argent, je réunis les billets de même valeur, les pièces semblables et j'effectue le paiement en donnant ensemble les signes monétaires de même valeur. C'est mon intégral.

Tel que présenté comme ça, on peut dire oui c'est tout bête d'y penser. C'est une sommation en tranche horizontale en tranche verticale. Le fait qu'il se soit écoulé presque 1000 ans entre le moment où on a commencé à raisonner verticalement et où on a commencé à raisonner horizontalement vous montre bien que c'était pas si facile.

Et il y avait plusieurs raisons conceptuelles fondamentales pour que c'est attendu aussi longtemps. rend plus abstrait, on y reviendra, plus abstrait et moins simple à calculer l'intégrale de Lebrale de Riman mais ça lui donne une puissance en matière de gestion de problèmes, de généralisation et en particulier de passage à la limite qui est juste inimaginable. Donc on va venir et vous faire les deux dessins ici qui vont illustrer ça.

Alors je vais faire la euh même genre de fonction ici. Alors toujours on se fait en on se met en dimension 1. Ça peut être encore plus compliqué he peut-être des oscillations comme ça.

Je sais pas. Et ici donc comme ça comme ça comme ça. Alors ça san fonction d'escalier en dessous avec peut-être des tailles différentes.

Vous voyez entre les au fond voyez bien là ? [Musique] Voilà, ça c'est mal. Et alors, il faudrait, j'ai pas les perces, mais il faudrait que je fasse aussi ce du dessus quoi, voyez.

Et cetera. Et et et maintenant, je vais faire le leville. Ouais, ici c'est la même valeur ici et là.

Ah là j'ai pas respecté. Pardon aussi. Voilà.

Par rapport à l'analogie celle que je viens de vous lire concernant le B, il faut imaginer que là c'est le temps et que au fur et à mesure du temps vous avez d'échéance, vous avez une certaine somme qui arrive. L'intégrale de la somme, la somme de toutes les sommes si vous voulez, c'est la somme totale au cours du temps que vous avez reversé. Et ici au fur et à mesure que ça se présente, vous donnez ce qui tombe tandis que ici vous commencez par attendre que tout le temps soit écoulé et vous commencez par ici.

Ça c'est par exemple 1 € 2 € 3 € et cetera. Ici vous avez la la la somme en argent c'est le c'est l'axe vertical. Donc dans un cas ce qui est très important c'est l'espace de départ.

Dans l'autre cas, ce qui est très important, c'est l'espace d'arrivée. Dans un cas, le fait que la fonction soit définie sur les réels ou les entiers ou n'importe quel espace, c'est très important. Et dans le second cas, on s'en fiche un peu.

Ce qui va donner à ce procédé de d'intégrale de Leb une finité considérable. On est sur des fonctions à valeur réelle. Donc l'espace d'arrivée, on sait toujours ce que c'est.

C'est toujours l'espace des réels et on se fiche un peu beaucoup de savoir exactement quelle est la structure de l'espace de départ dans le procédé de le ce qui va être utile dans dans certaines catégories de dans des proportions considérables à grand trait les évolutions qui viennent ensuite et qu'on aura l'occasion de revoir et de reprendre d'abord donc ça on est dans le tout début du 20e siècle et les procédés la théorie est vite assez vite reprises et en particulier dans la foulée vous avez la naissance de l'analyse fonctionnelle où on cherche à faire des raisonnements mathématiques en s'intéressant à l'espace géométrique de l'ensemble des fonctions avec les raisonnements donc non sur tout un ensemble de fonction et d'habitude on dit un espace de fonction un cour euh d'espace de fonction par ailleurs project d'espace fonctionnel et ces espaces les fonctions c'est pas juste l'ensemble toutes les fonctions C'est ensemble fonction avec une structure, une distance, un produit scalaire parfois quelque chose qui met des relations qui met de la géométrie sur cet espace. La démarche est implicite déjà à partir de Fourrier et elle est rendue explicite dans la foulée de de la découverte de Leb en particulier par le le groupe d'analy polonais. euh des gens comme Steinhous, euh Nicodimme, euh certain nombre et le plus brillant le et le plus emblématique Banard euh qui explicitement reprennent dans les idées de Lebig le fondement de leur façon faire les choses et introduisent la fameuse notation des espaces LP, les espaces de Leb en définissant la norme LP d'une fonction f comme l'intégrale de f à la puissance p 1/ et puis ensuite un ensemble de de considération et de de réflexion làdessus.