Cédric Villani - 1/7 La théorie synthétique de la courbure de Ricci

[Musique] Et bien, on va faire un cours commençant aujourd'hui qui parlera de théorie synthétique de la courbure de Richy et je vais dire pour donner des éléments de contexte que la théorie que je vais exposer a commencé à être développée systématiquement il y a 10 ans à peu près vers euh 2004 2005. Euh une étape importante pour moi, pour la théorie pour moi, ça a été le livre euh que voici donc en 2009, mon livre Optimal Transport Old and New que j'appellerai old and chaque fois qu'il y aura besoin. Et 2015, la résolution de l'un des problèmes ouverts présentés dans le livre qui me tenait particulièrement à cœur par deux chercheurs italiens.

Donc, Cavaletti Mondino résolve un des problèmes ouverts majeurs du livre. Et c'est le moment de faire le bilan de la théorie. Moment du bilan et de vous expliquer la preuve aussi.

En l'occurrence, c'est très bien adapté à l'IES puisqu'il s'agira donner une preuve synthétique plus générale, plus simple de l'inégalité dite de Lévi Gromof. Et euh je mentionnerai aussi qu'il y a une autre théorie peu près au même moment qui a été développée par Yan Olivier. Les deux ont des intersections, des points communs, Yan Olivier et autres qui s'applique particulièrement bien dans un cadre discret avec des points communs.

Et pour elle aussi, il y a un résultat majeur qui a été prouvé l'an dernier. Résultat important en 2014. sur une question de temps de mélange de de marche aléatoire définie sur un groupe de permutation et ça été fait par Berestiki, Natael Berestiki et le collaborateur de Berestiki qui s'appelle qui doit s'appeler aïe aïe aïe euh un nom turc que j'ai oublié.

Peut-être qu'il y a quelqu'un dans l'audience qui l'a qui a vu passer cet article. Ang peut-être tu vu passer non ? Ça se fait pas de ne pas dire les les noms des côteurs entiers.

Alors il s'agit de Singoules. Donc dans les deux théories à moment arrivent les bons résultats et c'est le moment d'en parler. Et on va développer ça en une dizaine d'heures.

Alors, on va commencer par un prélude analytique et synthétique. Qu'est-ce qu'on appelle analytique ? Qu'est-ce qu'on appelle synthétique ?

Il y a pas de définition bien précise, mais on va dire que quand on a des calculs, on appellera ça analytique. Quand on a des propriétés, on appellera ça synthétique. Et on va donner quelques exemples analytique et synthétique.

Alors, on commence avec l'exemple qui est peut-être à garder en tête toujours pour ce dont je parlerai. La convexité. Comment on définit qu'une fonction est convexe ?

Les deux ma façons les plus populaires, c'est de dire qu'une fonction est convexe si sa dérivée seconde est positive et l'autre de dire que la fonction est convexe si le graphe de la fonction est toujours majoré est toujours en dessous de la de la tangente en dessous du en dessous de l'application tangente pardon de la corde au-dessus de la tangente et en dessous de la corde. Et ici ça va être donc phi de 1 - tx + ty inférieur ou égal à 1 - t x + t y et ce pour tout x pour tout y pour tout t appartenant à 01. OK ?

Alors, on va appeler ça analytique parce que comme vous le voyez bien ici, on est en train de faire un calcul qui est celui de la dérivée seconde et un test après qui est assez facile savoir si c'est positif. Ici, c'est pas un calcul, c'est un paquet un paquet de calcul. Faut le faire pour tout x, pour tout y.

En particulier, cette définition-ci est non locale. Euh celle-ci, on va dire qu'elle est effective. En pratique, on arrive à la vérifier, à l'établir.

Si je vous donne une fonction inconnue, vous dérivez deux fois, vous regardez le signe. Souvent ça se traite. Celle-ci, en pratique, elle est intractable si vous essayez de la vérifier directement sur une expression, d'habitude vous en sortez pas.

Ça veut pas dire qu'elle est inutile. Au contraire, on s'en sert sans arrêt de ces propriétés de position respective du graphe et de la corde. Donc, c'est très utile mais c'est euh très difficile à vérifier.

Et puis elle a d'autres avantages, c'est qu'elle est plus générale cette définition. A priori pour écrire ça, il faut que la dérivée seconde existe, tandis que là, je me fiche complètement de l'existence de quelque dérivée que ce soit. Et évidemment, si je regarde une fonction comme la valeur absolue, elle vérifiera la deuxième définition mais pas la première.

À moins de travailler au sens des distributions ou quelque chose d'un petit peu sophistiqué. Elle est plus générale et puis aussi elle est plus stable. Et l'exemple à garder en tête, c'est si vous savez que phi 4 tend vers phi et vous vous demander quand est-ce que je vais pouvoir passer à la limite dans la définition, si vous voulez passer à la limite dans ce critère, il vous faudra une convergence C2 par exemple uniforme ou quelque chose de à peine plus faible.

En revanche, si vous voulez passer à la limite dans cette définition, il vous suffira d'avoir la convergence simple pointwise et donc c'est stable pour une topologie beaucoup plus faible. Après, les deux sont équivalentes euh quand la fonction est lisse. Mais supposez que vous ayez une famille de fonctions convexe lisses qui converge simplement vers une fonction lisse, il y a pas d'autre moyen de prouver la convexité que de passer par cette définition en intermédiaire, on va dire.

Vous utilisez l'équivalence, vous convergez ici et puis vous faites l'équivalence dans l'autre sens. Et c'est une stratégie qu'on applique tout le temps. Et c'est bien parce qu'il y a l'équivalence entre ces deux définitions qu'on arrive que la notion de convexité ici utile.

Une dernière chose qu'on va remarquer, c'est que cette définitionci est facile à quantifier, facile à quantifier au sens où la dérivée seconde c'est quelque chose. En fonction de ce quelque chose, vous pouvez dire que ça vous donne des informations sur la convexité. Si quelque chose est strictement positif, vous direz que la convexité est uniforme.

Par exemple, ici aussi, on peut quantifier mais c'est plus délicat. Faut rajouter des termes mais ça se fait aussi euh peut se quantifier. [Applaudissements] Bon alors euh point de vue analytique, point de vue synthétique, ce qu'on a vu ici, le fait que le point de vue synthétique est plus général, plus stable, utile aussi, on a l'impression de mieux comprendre dans beaucoup d'arguments, c'est général, c'est vrai pour beaucoup de choses qui sont pour beaucoup de choses dans cette dicotomie analytique et synthétique.

Alors maintenant, un autre domaine dans lequel on va faire la distinction entre analytique et synthétique, c'est la géométrie euclidienne. Géométrie dans le plan tel qu'on la prend à l'école. Et ce qu'on apprend, c'est d'abord à faire des la géométrief à la façon des grecs anciens avec des triangles, des cercles, des droites et une axiomatique et des propriétés.

Et puis un jour, on apprend que c'est équivalent aussi au point de vue synthétique où par exemple l'équation d'un cercle, ça pourra être x2 + y2 = r2. l'équation d'une droite, ça pourra être ax + by + c = 0 et ainsi de suite. Donc d'un côté des calculs avec des équations, l'autre côté des figures avec des propriétés sur lesquelles on raisonne.

Et évidemment comme on sait qu'en géométrie c'est tellement puissant et les remarques ici s'appliquent aussi. C'est plus effectif de faire les calculs, de faire les intersections souvent, mais on comprend mieux quand c'est énoncé en forme synthétique. On va passer à la géométrie non neidienne, par exemple, la géométrie des surfaces.

Alors euh le principal objet en géométrie non neuclidienne, on va revenir, on va y revenir plus tard, c'est la courbure de Gaos. appelonsla et il y a une formule pour vous dire ce que c'est que la fauxcourbure de Gaos et comment vous la calculez. Et puis il y a aussi une façon de traduire de manière synthétique les estimations sur la courbure de Gaus en regardant la forme des triangles.

Par exemple, si le triangle est comme ça, c'est que la courbe ça correspond à une courbure positive. Si le triangle est comme ça, c'est que ça correspond à une courbure négative. et ainsi de suite.

Et triangle, on va quantifier ça par exemple par le fait que la somme des angles est strictement plus grande que pi. Ça ça sera la marque d'une géométrie de courbure positive et ça porte sur une propriété des figures. Et pareil, il y a un point il y a des des équivalences entre un point de vue et l'autre point de vue.

On va revenir sur cet exemple plus en détail plus tard. Et puis maintenant si vous faites de la géométrie non neclidienne, courbure en plus grande dimension, courbure plus surface, on va dire, il y a un objet qui est important, c'est la courbure de Richi qui remplit de multiples rôles et pendant longtemps, la question c'était qu'est-ce qu'on met ici ? C'est une question que vous trouvez posée par exemple dans l'ouvrage dans le joli petit ouvrage de Gromof sur le signe et le sens de la courbure et c'était pas clair pendant longtemps.

Qu'est-ce qu'il fallait faire pour ça ? Et donc ce que je vais vous ce que je vais vous présenter ici, c'est une théorie qui remplit cette case et qui est basée sur le transport optimal. On parlera pas de transport optimal aujourd'hui.

On réservera ça, on commencera ça pour la prochaine séance. Aujourd'hui, on va parler beaucoup de la courbure de Richy et poser le problème plus précisément. Et je vous parlais de la théorie tout à l'heure de Yan Olivier avec des points communs.

Elle est aussi basée sur le transport optimal et il y a une comme je disais une grosse intersection. Elles sont équivalentes dans le régime continu, on va dire. Voilà.

Alors, deux remarques avant de continuer. Première remarque, donc deux remarques. Premièrement, quelque chose qui est essentiel dès qu'on parle de convexité, dès qu'on parle de courbure, c'est qu'il y a un principe de propagation du local vers le global et vice-versa. convexité, c'est une propriété infinitésimale.

Et puis vous arrivez à l'agrandir, à l'agrandir. Et en général, quand vous regardez des relations différentiel, elles ont peut-être des propriétés localement, mais quand vous essayez de les démontrer globalement, ça marchera pas. Mais pour la convexité, c'est un petit miracle que ce qui est vrai localement devient vrai globalement et réciproquement, vous pouvez toujours revenir au local.

Et en courbure, c'est pareil. Il y a beaucoup de propriétés qui sont vraies localement et qui peuvent se propager jusqu'à être vrai globalement. Par exemple, courbure positive sous des hypothèses sous des hypothèses simples, vous arrivez à montrer pour le coup c'est pas c'est pas très facile c'est pas facile à montrer que si tous les triangles vérifient tous les petits triangles vérifient somme des angles plus grandes que pi.

Alors tous les grands triangles vérifient aussi somme des angles plus grands que pi. Il y a une propagation depuis le local vers le global. Et euh ça c'est un c'est une question importante aussi pour le problème qui nous occupe.

Et puis l'autre remarque, c'est que parfois la notion synthétique implique automatiquement une régularité. une régularité qui peut être presque celle qui dont vous auriez besoin pour la notion analytique. Et là encore, l'archétype, c'est la convexité.

Si vous regardez une fonction convexe, soit phi de rn dans R, une fonction convexe, OK ? Je suppose rien d'autre que la convexité. Alors, automatiquement convexe au sens phi de 1 - tx + ty inférieur ou égal à blablabla.

Alors, automatiquement phi est deux fois dérivable presque partout. C'est le théorème de différenciabilité seconde d'Alexandrov. Et ça vous montre, on n'est pas deux fois différenciable mais pas loin presque.

Et donc il y a une rigidité si on veut une régularité automatique qui est impliquée par la notion synthétique. Alors dans le cas qui dans les cas qui nous intéressent euh on pourrait dire que ici il y a aussi quand on définit un cercle, il est forcément géométrie c'est forcément correspond forcément à cette équation là et tout est régulier. Quand on regarde quand on regarde la courbure positive, automatiquement le simple fait de décider que les triangles seront gras, ça implique qu'il y a une certaine régularité sur l'espace, pas loin de pas loin de deux dérivées.

En revanche, si vous décidez que les triangles sont maigres, ça n'implique rien du tout et votre espace peut être aussi pathologique, aussi irrégulier que vous voulez. Donc ça dépend des cas. Dans ce qu'on traitera, on verra qu'il y a un début de régularité et ça fait partie des points qui sont encore ouverts dans la théorie.

Quelque chose qui est pas aussi fort que ce qu'on a là, mais quand même assez assez contraignant. Et puis euh je vais pas je vais donner tout de suite les noms des contributeurs pour être sûr d'oublier personne. et puis contributeur. [Applaudissements] Alors contributeur plein de monde au début alors les articles fondateur on va dire pour la théorie que j'exposerai il y a moi-même. un article qui date de 2000 à peu de 2000 euh Lot et moi-même je tourne des articles qui arrivent quelques années plus tard et puis par ordre alphabétique et beaucoup de gens qui développent la théorie alors beaucoup beaucoup j'exagère un peu mais parmi les plus notables Ambrosio, Barer Bianchini Cavalet Cordero et Rosquin Jilly Ketterer Kada Lot Macan Mondino Rayala Là, ça varit.

Et voici la partie difficile. Schmouen schlagger. Je tourne et moi-même et puis d'autres encore.

Et puis sur la la théorie que je développerai pas avec Olivier, il faut citer en particulier Herbar et Maas parmi les contributeurs. OK. Et ben allons-y.

Ça c'est le prélude, distinction entre analytique et symphique. Et voici le plan du cours. Oh là là, il y a beaucoup de brosses.

Théorie classique analytique si on veut classique de la courbure de Rich. Qu'est-ce que c'est la courbure de Rich ? On va voir et revoir ça de transport optimal 3 Entropie de Bolsman et information au pluriel. quatre rencontres la façon dont les différents en plus précisément la façon dont les trois différents premiers chapitres se rencontrent et qu'est-ce qui sort de l'interaction 5 les espaces CD de KN généralisé CD de KN c'est pour courbure dimension 6 analyse des espaces CDK K analyse et géométrie des espaces CD de KN.

Voilà hein. Courbure dimension. Euh parmi les références Alors, il y a le gros bouquin et puis euh je donnerai aussi comme référence un texte que vous trouvez sur ma page web et qui est une une note de synthèse et qui s'appelle précisément synthéticory of rich curvature bounds [Applaudissements] sont les notes d'une d'unun cours dans une conférence synth Frit curvature Bounds sur ma page web et puis le préprime de cavaletti Mondino, charpan de périmétrique inéqualitise OK et on commence aujourd'hui avec la théorie classique de la courbure de Richy.

Et on va supposer que on sait presque rien. Donc on va repartir du départ. Bon classique et donc en particulier on s'occupe on définira ça sur des variétés rimaniennes.

Assze. Si on sort du cadre rimanien tout en restant lisse, il y a par exemple le cadre finslérien dans lesquels c'est pas des produits scalaires mais c'est quand même des normes qui donnent infinitésimalement la géométrie. Dans ce cas-là, il y a plusieurs notions possibles de courbure. plusieurs notions de possible courbure de Richy.

On verra plus tard qu'il y en a une qui est naturellement associée à la théorie que je présenterai. Et pour l'instant, on va rester rimanien tout du long. Et on va commencer avec à rappeler la courbure sectionnelle dans la courbure de Gaus évidemment.

On a S, une surface ou un morceau de surface. X un point dans S et on envoie ça dans l'espace. On envoie ça dans la sphère S2 par l'application normale.

Ici une surface plongée dans R3. Mettons dans E3 l'espaceien. n l'application normale et on pose K ég le déterminant jacobien de la normale.

OK, ça c'est n et ça dépend pas de l'orientation qu'on a choisi. Et ce qu'on va noter, c'est que évidemment donc non seulement c'est indépendant de l'orientation mais aussi du plongement comme nous l'a appris Gaos. Et donc ça ne dépend que de la métrique ou première forme fondamentale.

Et il y a des formules si on veut expliciter la courbure en fonction de la métrique. Les formules en elles-mêmes sont compliquées et ne servent pas à grand-chose donc on va pas les rappeler. Évidemment, la courbure pour la sphère avec cette définition là, c'est 1, pour le plan, c'est 0 et pour l'espace hyperbolique, le plus standard -1.

Ça, c'est euh la définition telle qu'on peut l'avoir dans le fameux article 2827. Alors, il y a un autre point de vue pour la courbure qui sera beaucoup plus parlant pour nous, c'est celui qui consiste à l'exprimer en terme d'écartement des géodésiques. formulation équivalente contrôle de l'écartement des géodésiques, de la divergence si vous voulez.

Alors, je prends un point X sur ma surface et deux vecteurs tangents U et V. U orthogonale à V. norme de U = norme de V = 1.

UV appartenant à TX S ma surface et je lance une géodésique avec vitesse U, une géodésique avec vitesse V. Ici gamma U, ici gamma V T avec par exemple gamma U T= exponentiel X. Autrement dit, je suis la géodésique de vitesse constante qui démarre de X avec vitesse U.

Et quand je dirais géodésique sans arrêt, ça voudra dire géodésique à vitesse constante. Euh et on se demande quelle est la distance entre les deux. distance entre gamma u t et gamma v t.

Alors ici c'est la distance géodésique. Distance géodésique de x à Y étant l'infheal de 0 à 1 de on va l'écrire comme ça, c'est une des définitions possibles. Gamma point de t² d t √ car sur tous les chemins tels queγamma 0 = x,γγamma 1 = y.

Donc distance, je désique entre le point ici et le point là. Et si on regarde comment ça se comporte, alors au premier ordre, c'est √ car 2 x t puisqu'ici a orthogonalité. Ça c'est le théorème de Pythagore.

Et puis après il va y avoir une correction et le premier terme il s'annule. Le deuxème terme et c'est lui qui porte la correction. Donc c'est un terme d'ordre 3 en t et il y a un coefficient qui est égal à 12.

Et puis après il des termes d'ordre plus petits quand t est envers 0. Et ce qui est important c'est que ici le nombre K pas c'est le même que celui qu'on a vu précédemment. Autrement dit en temps petit contrôle la divergence.

Ça ça vous dit la diagonale dans le triangle rectangle, c'est plus petite ou plus grande qu'en géométrie euclidienne. Courbure positive, la diagonale sera plus petite, ça a tendance à se rapprocher. Courbure négative, la diagonale sera plus grande, ça aura tendance à s'écarter.

Euh cette forme cette forme montre aussi directement une fois qu'on a établi cette forme, elle montre directement que c'est un invariant par isométrie parce que la distance geésique est invariante par isométrie et donc le coefficient KA, il va pas bouger selon qu'on change le plongement. Qu'est-ce qu'on va dire d'autre ? Il y a une autre il y a une autre formule qu'on trouve plus classiquement mais qui est lié mais qui est moins utile et qui concerne le circonférence d'un cercle.

CR = 2 pi R x 1 - K R2/ 2. Euh, ça c'est la circonférence du cercle de rayon R. J'ai un doute là sur le 2.

Peut-être que je me suis planté en recopiant. Je suis plus sûr du 2 qui est là. Le 12, là, j'en suis sûr.

Mais ce qui est sûr, c'est que cette formule euh elle est beaucoup plus euh intuitive que celle-ci. Celle-ci vous donne une information moyennée sur toutes les distances. Celle-ci, elle vous dit vraiment quand vous avez deux géodésiques, qu'est-ce qui se passe ?

Et vous pouvez aussi faire des variantes de la formule dans laquelle l'angle entre les deux géodésiques, il va être égal à thêta plutôt qu'à pi/ 2. Donc ça c'est la courbure de Gaos. De la courbure de Gaos, on déduit facilement la courbure sectionnelle. courbure sectionnelle.

Alors, plusieurs façons de le faire. On va dire comme ça, scourbure sectionnelle en X le long du plan P. Donc ça c'est un plan dans TXM et on va dire que ce plan, il est engendré par U et V qui sont pareils, orthogonaux, tout ce que vous voulez.

Euh par définition, on va dire que c'est la courbure de Gaus de la surface qui est obtenu en regardant l'image par application exponentielle du plan P. Autrement dit, partant de X, vous envoyez toutes les géodésies que vous voulez dans la direction du plan P. Ça vous définit une surface à l'intérieur de votre variété et vous prenez sa courbure de gaus.

Donc ça c'est pour x appartenant à M une variété dimension N. et ici P un plan hein donc juste dimension 2. Donc ça c'est ça c'est une possibilité et l'autre possibilité c'est de reprendre la formule qui est là-haut exactement la même.

Peut aussi se définir par la formule sur l'écartement des géodésiques. 1 ça sera la même formule ici que la distance est égale à √2 x t x √2 t x 1 - k/ 12t² et le même cap vous l'utilisez comme définition de votre courbure sectionnelle dans le plan qui est engendré par u et v et sigma x et ça ne dépend que du plan du choix de que du plan p pas du choix de UV. [Applaudissements] Bon, comme on a vu ici, on a cette formule de la distance, on sent bien que ça intervient la courbure sectionnelle dans des opérations différentielles faisant intervenir à distance.

Et de fait, ça intervient tout le temps chaque fois que vous regardez la variation seconde de la distance. Lacienne de la distance en fonction du point d'arrivée sont des formules qui font intervenir la courbure de manière explicite ou de manière implicite. Et la courbure sectionnelle, on peut aussi dire ça, c'est qu'elle est liée aux variations secondes de la distance.

Genre vous regardez la fonction distance de x à Y, vous dérivez deux fois par rapport à y. C'est le genre de quantité qui s'exprime, qui se contrôle à partir de la courbure. Qu'est-ce qu'on va dire aussi ?

On va rappeler que les espaces à courbure constante sont classifiés et que localement ce sont des RN ou Sn ou HN. Selon que la courbure est nulle, positive ou négative, c'est OK si j'efface ici. Ils sont plus larges ces tableaux là.

Bon et maintenant on va dire que les inégalités [Applaudissements] sigma supérieur ou égal à K courbure sectionnelle minorée et sigma inférieur ou égal à K donne lieu à des théories très riches [Applaudissements] et très différentes. Ça dépend après des des valeurs de KA qu'on met là. Mais euh il y a un esprit extrêmement différent selon qu'on travaille en courbure minorée ou en courbure majorée.

Deux exemples parmi des tas et des tas et des tas. [Applaudissements] On sait que si sigma si la courbure sectionnelle est toujours minorée par un nombre K strictement positif, alors le diamètre de la variété est inférieur ou égal à pi/ √ qui exprime qui est on a on a l'habitude mais il est remarquable parce que ça c'est quelque chose de purement local et ça c'est une conséquence globale sur la la taille de la variété. Et puis autre exemple, euh si sigma est négatif, si la courbure sectionnelle est toujours négative, alors euh on sait qu'il y a jamais de focalisation quand on regarde le déterminant jacobien euh de la dérivée de l'exponentiel en x, euh il est toujours différent de 0, quel que soit v.

Ce qui veut dire que quand vous lancez une géodésique à une certaine distance dans votre espace en faisant varier la vitesse de départ, vous arrivez toujours à faire varier continuement le point d'arrivée. C'est une propriété qui est fausse sur la sphère par exemple parce que si vous partez du pôle sud et que vous lancez le rayon qui va jusqu'au pôle nord, même en le faisant bouger bien au point de départ, vous ferez jamais vous aurez qu'une toute petite variation au point d'arrivée. Mais c'est vrai en courbure négative.

Et là aussi, ça c'est une propriété qui est globale, qui fait intervenir la propriété de l'application exponentielle sur de sur des temps qui sont longs si vous voulez. Et ça c'est une propriété qui est locale. Donc dans les deux cas, il y a du local vers global.

On va maintenant dire qu'il y a une théorie synthétique associée à ces à ces deux espaces. [Applaudissements] Théorie synthétique, je mets au pluriel parce qu'il y en a une pour la courbure minorée et une pour la courbure majoré. Elles se font par comparaison avec les espaces de référence et le nom qui est associé c'est CAT pour Cartan Alexandrov Toponogov.

Alors, on va juste donner un exemple. [Applaudissements] Définissons CAT+ de 0. Alors, je mets le plus ici, ça veut dire que c'est sigma supérieur ou égal à quelque chose et le quelque chose ici va être 0.

Donc, comment on définit 7 et plus de 0 ? Et la propriété suivante, je prends un triangle géodésique. Donc ça c'est un triangle géodésique dans ma géométrie.

Et donc il a trois sommets. J'en prends un en particulier et je voudrais de la cré couleur. Voilà. et je trace la médiane qui va ici de ce point au milieu du côté opposé.

Bon et maintenant je compare avec le l'espace euclidien E2. Donc ici c'est l'espace de courbure nulle. Et pour comparer, je vais prendre le triangle qui est isométrique à celui-ci, hein.

Celui-ci, il va être isométrique. Et je vais regarder la médiane. Pas d'une médiane ça.

Ici, la médiane. Si la longueur ici est plus grande que la longueur ici, si la longueur à gauche est plus grande, si la longueur de la médiane à gauche est plus grande que la longueur de la médiane à droite, on dit que le triangle ici est plus gras et on dit que la propriété de comparaison est vérifiée. Longueur de la médiane supérieure ou égal à la longueur de la médiane dans l'espace de référence.

OK. OK. Comme on sait quand vous portez des cravates, ce qui est pas mon cas, la cravate doit toujours aller du col au milieu de la ceinture.

Si ça c'est le triangle avec la pointe ici, ça c'est la base. Ça c'est la longueur de la cravate et un espace 4 + 0, c'est un espace dans lequel les triangles ont des longue cravat parce qu'ils sont gras et donc ils ont besoin d'avoir une cravate assez longue pour aller jusqu'au jusqu'au milieu de la ceinture. Donc vous retenez ça.

Un espace 4 + 0, c'est un espace dans lequel les cravates sont grandes. et inversement en espace 4 moins de 0, c'est un espace dans lequel les cravates sont plus courtes qu'elle ne le serait dans un espace qui bon il y a une autre façon ça c'est une autre possibilité il y en a plein autre possibilité la somme des angles. C'est dire que la somme des angles est toujours supérieure ou égale à pi.

Ça a l'air plus simple mais quand vous y réfléchissez ça c'est plus simple parce que ça fait intervenir que des distances. C'est très facile à définir tandis que pour définir ça, il faut définir ce que c'est que des angles et ça vous demande déjà un peu plus de un peu plus de de de complication. Alors ça c'est un exemple et il y a une théorie très développée [Applaudissements] des espaces 4 dans un contexte métrique et plus précisément métrique géodésique, c'est-à-dire un espace métrique où vous supposez juste l'existence de géodésique, un espace métrique où l'on a toujours où l'on peut toujours relier les points par des géodésiques.

Et il y a une référence, il y a une très belle référence pour ça, c'est l'ouvrage de Bourago, Bourago Ivanov. euh que je vous recommande chaudement. De manière intéressante, l'ouvrage tout du long et plein de propriétés magnifiques dans la partie lisse, il est bourré de bug partout.

Il y a une liste comme ça, des rat pour la partie lisse et tout ce qui est non lisse, tout marche bien. Ce qui montre que c'est quand il y a des calculs qu'on se plante, pas quand on manipule des des propriétés. Euh topologie.

Quelle est la topologie qui va naturellement avec la courbure ? Alors, deux réponses possibles très différentes. D'abord, évidemment topologie C2 sur la métrique et naturel. pour avoir la conservation de la courbure.

Le théorème de Gaos. Remarque en passant, il est possible que C1 alpha pour alpha assez proche de 1 suffisent. Il y a des résultats de rigidité lié à la courbure positive qui sont associés à une topologie C1 alpha avec alpha assez proche de 1 mais c'est pour démontrer que ça vienne avec une conservation de la courbure parce qu'il y a des phénomènes de compensation compliqué dans la courbure qui font que c'est pas clair que ce soit que ces deux soient une condition nécessaire.

Mais en revanche, il y a une autre réponse qui est beaucoup plus molle et générale. C'est pour la théorie synthétique la topologie de Gromof Housdorf. On appellera GH.

Alors, qu'est-ce qu'on va dire sur la topologie de Gromof Housdorf ? Parce qu'elle va jouer un rôle important dans la suite ? Ouais.

Faisons, on gardera les définitions pour plus tard, on reviendra dessus qui en gros impose juste la convergence des distances, la convergence simple des distances. Bon et par exemple si vous êtes dans courbure sectionnelle positive au sens cart Alexandrov Toponogov et que vous convergez au sens de gromo house d'or vers un truc limite alors vous savez que aussi vous avez sigma positif à la limite donc il y a stabilité des espaces 4 par topologie de Gromof Ausdorf. Et ben là, on a frappelé tout ce qu'il fallait sur la courbure sectionnelle.

Est-ce qu'il y a des questions ? Tout va bien. Et on va passer à la courbure de Richy. de courbure de Richy.

Bon, d'abord, on va voir les définitions et les deux calculs fondamentaux, les deux calculs qui reviennent toujours quand on travaille avec Richy. Alors définition là encore il y en a plusieurs. Mais partant de la courbure sectionnelle le plus simple c'est si je prends x et je me donne un vecteur u de norme égale à 1.

Alors Rich en X dans la direction U sera égale à la somme pour J allant de 2 à N des courbures sectionnelles entre U et EJ. ou U = E1, E2 et cetera. En est une base orthonormé de TXM.

Autrement dit, je somme les courbures sectionnelles dans toutes les directions. J'apparis ma direction U à n'importe quel autre vecteur et ça me donne une courbure et je somme toutes les courbures sectionnelles ainsi obtenues. Ici, c'est pour section.

Donc en gros, si on veut et on peut l'exprimer comme ça aussi, je fixe ma direction U. Je fais la moyenne de tous les plans qui passent par u qui contiennent U et je fais la moyenne toutes les courbures sectionnelles qui sont associées ou l'intégral quoi. Alors cela cette définition s'étend en une forme quadratique sur TXM et c'est cette forme quadratique qu'on appelle la courbure de Rich ou le tenseur de Rich.

On peut aussi écrire l'écrire sous la forme alors je vais l'écrire en en composante. RJ é= la somme sur K des R I K J K où ceci sont les composantes du tenseur de Riman en contractant par rapport à deux indices. Ça c'est une définition.

Ça c'est une définition. Et moralement qu'est-ce qu'elle veut dire la courbure de Rich ? On va la comparer aux propriétés qu'on a rappelé sur la courbure sectionnelle. [Applaudissements] Moralement. [Applaudissements] Donc ça c'est pour la courbure sectionnelle.

Ça c'est la courbure de Richi. La courbure sectionnel, elle nous dit des choses sur les variations secondes des distances. La courbure de Richy, elle dit quelque chose sur les variations seconde des volumes.

La courbure sectionnelle, elle était liée à la sienne de la fonction distance. La courbure de Richy, elle sera liée au laplacien de la fonction distance. Et puis de manière plus précise, la courbure sectionnelle, elle contrôle l'écartement que deux géodésiques peuvent avoir autant T.

Si on connaît leur écartement au temps 1, ça c'est une façon un peu bizarre mais qui se quantifie bien de reformuler une propriété de type convexité. Voyez, je vais vous tracer des géodésiques typiques de courbure positive. Si vous savez quel est l'écartement au temps t, alors vous savez que l'écartement au temps intermédiaire, disons T/ 2, il peut pas être trop petit, il est au moins d'une certaine quantité.

Et un truc comme ça par exemple, ça serait impossible. Ça c'est une estimation de courbure positive qui vous le dira. Au contraire, si vous êtes en courbure négative, ça vous dira que l'écartement peut pas être plus grand qu'un certain truc.

En tout cas, ça contrôle ici, c'est par au-dessus ou par en dessous. selon les cas, selon que ces estimations euh minorées ou majoré par au-dessus ou en dessous cet écartement. Et puis ici, ça ça va contrôler la distorsion des volumes de l'application géodésique de l'application exponentielle. application géodhésique au temps t sachant la distorsion au temps 1.

Voilà, ça c'est un peu le tableau à garder en tête et on va donner des théorèmes précis par rapport à ça. Et il y a un truc qu'il faut garder tout le temps en tête, c'est que sigma minoré ça marche bien. Il y a toute une théorie.

Sigma majoré, il y a toute une théorie. Richi minoré, il y a toute une théorie et tout. Mais Richy majoré euh on sait on ça ne marche pas.

En tout cas, aucune conséquence, aucune aucune théorie géométrique, on va dire, raisonnable. Il y a des conséquences analytiques mais il y a rien qui il y a rien qui marche et en particulier rien qui marche du point de vue synthétique. Euh ça ça correspond aussi à ce que je disais local vers global.

Si vous avez une propriété typique de courbure positive euh en petit en local ça s'étend quelque chose de global. Ici pareil, ici pareil mais ici ça s'étend pas. Ça marche pas.

Et on verra très précisément à quel endroit ça ça ne marche pas. Alors, quelques formules lié à Rich tel qu'on peut les trouver. Alors, deux formules qui illustrent ce qu'on vient de dire.

La première l'olplacien de la métrique dans un jeu de coordonné géodésique centré en X. Rich en X s'écrit en composante RJ = 32 de l'aplacien G. juste point X et donc à l'ordre dominant ça correspond effectivement à prendre le l'aplacien de la métrique.

Et puis un autre une autre formule au voisinage de X euh volume de dx est à peu près alors au voisinage de voilà volume de dx au voisinage de x0 on va dire est égal à 1 - 1/6e de rich appliqué à x - x0 on voit ça comme un vecteur infinitésimalement euh plus grand tau de x - x0³ tout ça multiplié par dx. Donc au voisinage de x0 si vous voulez la qu'est-ce qu'on va dire la densité de la formule de la forme volume par rapport à la mesure de le bec dans les cartes ici c'est une le premier ordre qui change. Ça c'est ça c'est quadratique en x- x0. et c'est Rich qui le donne.

Alors ça c'est des formules. Maintenant en pratique Rich intervient dans deux calculs. L'un c'est la le déterminant jacobien de l'exponentiel de l'application exponentielle.

Et le deuxième c'est la formule de Borner. Bon et ce qu'il faut savoir aussi avec ces deux calculs, c'est qu'ils sont équivalents. Vous pouvez passer de l'un à l'autre et réciproquement.

Donc en fait, c'est le même calcul et on va détailler le premier et déduire le second du premier. Alors oui, on va pour Bner pour les informes et même je me limiterai à des formes à des à des gradients. Mais ouais, tout à fait parce qu'après effectivement il y a toute une famille de Borners qui sont toutes des commun.

Voilà, c'est ça. Alors euh, on y va sur le déterminant jacobien. Alors je me donne si un champ de vecteur au voisinage de x appartenant à m et je regarde t indice t de x é= exponentiel x txi de x hein.

Donc là, ça c'est X et là c'est X de X. Et hop, je me déplace le long de la géodésie qui part avec la vitesse initiale X. Et puis un peu après, là j'ai x prime, là j'ai x de x prime' et je me déplace le long de cette géodésique et j'arrive ailleurs.

Question : comment est-ce que ceci va comment est-ce que ceci va déformer les volumes ? distorsion de volume associé à ça. Évidemment, ça dépend de X mais ça dépend aussi de la géométrie selon la selon que les judésiques ont tendance à s'écarter ou à se rapprocher.

Et donc notre problème c'est de calculer déterminant x pardon déterminant de dx tt de x de le calculer ou de l'estimer. Alors pour résoudre ce problème, il est très commode de de se placer dans un repère mobile. Donc ça c'est ma géodésique.

Et je vais mettre dessus une petite base orthonormée. Je vais l'appeler E ici hein. C'est la c'est la base E é= E1 et cetera en et le premier vecteur de la base correspondra à la direction.

Donc E1 sera égal à X de0 X de X normalisé par X de X. OK ? et je la transporte par transport parallèle tout le long de la jodésie gamma transport parallèle de l'vitivita.

Donc je vous rappelle, c'est un un transport qui préserve tous les produits scalaires de sorte que la base orthonormée reste une base orthonormée, elle reste posée sur la géodésique et ainsi de suite. Et on va maintenant regarder ben ici, j'ai x le point qui est ici, je vais l'appeler x + delta e2. Ici, mettons qu'il y aura X + delta E3 et ainsi de suite, des petites variations dans la direction E2, E3 et ainsi de suite.

Et euh je vais regarder comment sont les images. Et le parallèliipède qui est là au départ qui est une base orthonormée. Quand je vais le regarder à l'arrivée, il sera déformé.

Au premier ord, ça sera encore un parallelépipède mais il aura pris une ampleur différente à cause de la courbure. Donc ici infinitésimalement l'image de TT si on veut de X + delta E1 et cetera X + delta. Bon et ce qui m'intéresse, c'est de faire le rapport entre le volume de ce nouveau paralypipède et le volume de la base orthonormée qui lui n'a pas changé.

Alors, je vais noter ji les variations dans la direction EI. D'abord, je vais dire que au début le côté est deltai, disons dans la direction I ici. Et à l'arrivée, ben le côté ça va être euh dx delta x dx tt de x appliqué à eii.

Par définition l'application différentielle. On note ji de x soit jx [Applaudissements] la dérivée en delta é= 0 tt de x + delta ei. Donc ce qui nous intéresse là euh ce sont des variations géodésiques et donc ils obéissent comme toutes les variations de géodésique à l'équation de Jacobi qui vous que si on écrit dans la base mobile EI T que je vais appeler EI de TX obtenu donc par transport parallèle avec donc des coordonnées JJ, la matrice J ainsi obtenu J = JJ J qui pour le coup est une brave matrice n cro n avec des coefficients qui dépendent de t.

Vérifie J point de T + R T J T = 0 ou R T est une certaine matrice qui contient la géométrie et RJ de T est égal à tenseur de Riman appliqué à gamma à point et à ei appliqué à gamme à point contracté avec ej. Voilà. Alors euh ici il y a que la géométrie qui intervient évidemment là-dedans.

Les propriétés de Xi n'ont aucune importance. si il va se réinviter uniquement par les conditions initiales parce que on va devoir donner des valeurs initiales agit de zé ag à sa dérivée et c'est là que X va revenir. Alors avant de continuer, il faut savoir que RJ é= RJI et que la trace de R est égale la courbure de Rich dans la direction gamma point.

Alors, on continue et on se demande maintenant quelles sont les conditions initiales. Là, on a une équation du second ordre. Pour la résoudre uniquement, il nous faut les conditions initiales.

Donc, J de0 et puis J 0. Alors, on se souvient que tt de x est égal à exponentiel x txi de x. En particulier, t0 de x est ég à x, ce qui nous montre bien que jal identité.

Et puis maintenant si on regarde J0, ben ça revient à faire juste un coup hein pour t petit. On va juste regarder x + txi de x. Donc en t petit, on va noter ça x + txi de x.

Et si on regarde la variation de ça, la dérivée de ça par rapport à t c'est la variation de la dérivée de ça par rapport à à t, ça va être la différentielle de xi ou le gradient de xi selon le selon que vous choisissez selon le formuline que vous choisissez. Donc on va dire jal gradient dexy. On va appeler ça gradient covariant.

En tout cas, l'opérateur qui quand on lui applique EIi vous renvoie la variation de Xi dans la direction EI et euh gradient encore opérateur vu en tant qu'opérateur TXM dans TXM. Et nous y voilà, nous y voilà. Nous y voilà.

On a presque fini de résoudre notre petit problème. Donc on on récapitule. On récapitule.

Euh et cci on exprimer pour euh pour aller au bout de la logique, on l'exprimera dans la base des ei. Donc on a notre équation différentielle du second ordre. On a la condition initiale, on a la condition initiale pour la dérivée.

Et ben c'est bien en principe, à partir de ça, on peut calculer grand J de T de X. Et ce qui nous intéresse, c'est le déterminant de grand J de T de X. On va le noter J caligraphié de T de X.

C'est ce déterminant qui nous intéresse et on va dériver un déterminant. Ça on sait faire d/ dt jx est égal à jx euh trace de jx j- 1 de tx j de tx j- 1 de tx OK. Donc notre boulot c'est d'estimer ça.

Ça, on va lui donner un nom, on va l'appeler grand u de TX. Et puis on va appeler de on va sous-entendre les les X. On verra la dépense par rapport à T.

Donc ce qui nous intéresse, c'est d'avoir accès à la trace de U. Alors on dérive U. U est é= à J.

J - 1. U point est égal à J. J -1 - J.

J -1 J. J -1. Et ça ce n'est autre que U².

Et puis J point J -1. Si on se reporte à l'équation qui est là, ce n'est autre que R. D'où l'équation u + u² + r = 0. [Applaudissements] Équation premier ordre de type rati à valeur matricielle n x n.

Tout est dans cette équation. Tout ce qu'on fait après, tout ce qu'on tout tout ce qu'on fait sur la courbure de Richy à la fin se ramène à cette équation là. Alors ce qui nous intéresse c'est pas tel pas tant U point que ça trace et donc on va prendre la trace de Voilà.

Alors, la trace de U point, ça va être pareil que la dérivée de la trace. Euh, ici, la trace de U², je peux pas faire grand-chose que le laisser comme ça. Et ici, la trace de R, ben on se souvient que c'est égal à Richi.

Richi, dans quelle direction ? Ben, dans la direction du mouvement. gamma point.

Alors euh je note ici gamma de t = exponentiel x txi de x et donc tout ça est égal à 0. Et on se souvient que d sur de trace de u, c'est le calcul qu'on avait fait pareil que J point sur J, la dérivée logarithmique du déterminant jacobien. Bon et ben voilà ce qui on est arrivé J point sur J D sur DT de c'est ça je dis pas de bêtises j sur J é= trace de U.

Voilà c'est ça. Voilà ça c'est D sur DT de J point sur J. Voilà.

OK Alors question que faire de ça ? Supposons que le champ de vecteur prend la forme d'un gradient. Alors, le gradient de X n'est autre que l'opérateur associé à psi et c'est un opérateur symétrique.

D'où J0 et J0 sont symétriques. Et quand vous rajoutez à ça l'équation J point + RJ = 0 et le fait que R soit symétrique, ça implique que J t ça implique que euh J de T oui. Non.

Je suis en train de vous raconter des salades. C'est pas J de T, c'est U de T qu'il faut montrer qui est symétrique. Alors ici, J point J0 J point0 symétrique.

Donc U0 est symétrique et comme U vérifie l'équation U point + U² + R = 0, ici il y a un terme source qui est symétrique. Ici ça reste symétrique tant que U est symétrique. reste une équation qui préserve la symétrie et donc u t reste symétrique pour tous les temps.

Voilà. Alors, quel est l'intérêt de savoir que u est symétrique ? Ben, ça vous donne accès à une inégalité.

Alors, vous avez trace de u supérieur ou égal à la trace de u au carré divisé par n. Et c'est exactement ici qu'on perd l'égalité dans tous les calculs li à Rich et que on narrivera jamais à récupérer ça pour avoir une bonne théorie de Rich Majoré. Une fois qu'on est arrivé là, tout va bien.

La trace de U, on peut la réécrire comme J point sur J et on va se retrouver avec une inégalité fermée sur les variations de J. Donc des sur des thé. de J point sur J + 1/ n J point sur J² plus Rich est inférieur ou égal à 0.

Alors, un petit peu compliqué mais on voit qu'on a quelque chose qui est du second ordre par rapport au déterminant jacobien, quelque chose qui a une nonline linéarité qui nous fait penser à Rikati et avec une courbure de Rich qui est en terme source. Et ça c'est une égalité fondamentale pour l'interprétation de Richi. Alors, il y a plusieurs façons de reformuler ça et elles sont toutes utiles.

On peut reformuler cela de trois façons utiles. L'une en terme de J comme précédemment J point sur J 1 -1 sur N J car J/ J² est inférieur ou égal à moin Rich. une autre qui elle fait intervenir ce qu'on notera d = j^ 1/ n si vous voulez c'est une distorsion moyenne et ça sera d point point sur d inférieur ou égal à moins rich divisé par n et puis la troisième qui elle fera intervenir égal moins le logarithme de j si vous voulez, c'est ce qui euh correspondrait à un taux de compression exponentielle associé à J.

Et cette fois-ci, la formule ça sera L point supérieur ou égal à L point car sur N + Rich. Alors exemple, supposons que X est si on veut infinitésimalement orthogonale à une petite hyper surface he qu'on a quelque chose comme ça tac tac tac tac ici xi et supposons que xi soit constant xi infinitésimalement constant juste au voisinage du point x hein parce que j'obtiens mettons que ici j'ai mon point x et puis les autres je les obtiens par transport parallèle de sorte que j'ai ici des ghésiques qui viennent traverser la surface orthogonalement et au bout d'un petit Té, j'obtiens une nouvelle hyperurface qui est obtenue par déformation. Et si je regarde, si je prolonge un peu cette hyper surface dans la direction du transport, un petit hyper cube qui est là, un petit un petit cube qui est là va être transporté dans un petit cube qui est là et on se demande comment est-ce que le volume correspondant est déformé.

Et la réponse c'est que euh dans ce cas-là, J t sera égal à J0 x 1- rich dans la direction Xi T²/ 2 plus grand taux de T parce que le premier terme J point à ce moment-là, il sera égal à 0. J 0 sera égal à 0. Si vous reprenez le le le définition qu'on vient de donner, ça s'imposera.

Et ça s'est pris parfois comme une définition de la de la courbure de Richy, soit comme ici avec des terminants jacobiens, soit juste avec l'hypersurface parce que en fait ce qui se passe dans la direction du transport compte pas. On pourrait regarder juste la surface de l'hypersurface et la façon dont elle est déformé par Richy. Alors voilà, ça c'est pour les terminants jacobiens de l'exponentiel.

Et maintenant, on va faire le deuxième calcul, c'est la formule de Bckner. Alors, on peut l'établir indépendamment, mais on peut aussi le déduire du calcul précédent. Et c'est ça qu'on va faire.

Et on va dire que on l'obtient à partir du calcul précédent par dualité de l'air la grange. Par dualité, on va dire la grangeire. Alors quand je quand on dit la grange je fais allusion à la mécanique des fluides.

Point de vue lagrangien, on suit les particules le long de leur trajectoire. Point de vue rien, on s'intéresse qu'au champ de vitesse des particules dans un fluide. Donc ici, j'ai un gamma de TX qui correspond à la position autant Té de la particule qui était initialement au point X.

Alors que dans ER, on s'intéresse qu'à un champ de vitesse qui dépend de T et qui dépend de X. Donc ça c'est un champ de vitesse en X à au T. Et ça c'est une position en T partant de X.

Bon et la façon de faire le lien entre les deux, c'est que x de t gamγ est égal à d/ dt de gamma de t x. Si on veut, on peut mettre x ici, hein. Comme on apprend dans les cours d'équation différentielle.

Ça c'est le flow ici. Gamma TX serait le flot associé au champ de vecteur XI. Alors nous on est parti avec juste un champ de vecteur xi indépendant.

Il y avait pas de notion de temps. Mais on peut se dire au fur et à mesure que les trajectoires avancent en fonction du temps, est-ce qu'on pourrait pas modifier notre champ de vecteur XI le faire évoluer de façon que à chaque instant T ça soit comme si on était à l'instant initial ? Et ça correspondrait à prendre le champ de vitesse des géodésiques évoluant avec le temps T.

Alors, d'où la question de base de géométrie différentielle, vous avez un champ géodésique. Vous connaissez le champ de vecteur initial, quel est le champ de vecteur autant t et la réponse que vous obtenez en dérivant ça par rapport au temps, hein, comme gamma point est égal à 0, ça c'est l'équation des jodésiques, vous trouvez que la dérivée de ça par rapport au temps doit être égale à érive ça par rapport à zéro, ça nous fait quoi ? Ben dong xi plus la dérivée de xi dans la direction gamma qu'on note souvent dérivé de xi dans la direction xi ou encore xi scalaire gradient xi ça c'est comme dans et c'est comme dans l'équation de l'air la dérivée convective de u le long de u.

Donc ça ce sont les équations correspondantes pour le champ de vecteur X. Et l'idée c'est qu'on va faire évoluer le champ de vecteur Xi et qu'on va voir ce qui sort et on va en retirer une formule valable pour tous les temps. Alors, écrivons ce qu'il en sort.

Alors, si on se souvient de la définition euh J0X est égal à gradientixi jx, c'est ça qu'on avait tout à l'heure. ou encore gradianxi est égal à j - 1 hein, c'était égal à u en t = 0. Et bien si on impose des rondxi plus calir gradient anxié égal 0, cette identité va se propager au fur et à mesure du temps et on trouvera gradianxi de t euh de tx égal à u de tx. ici.

Attention, j'ai bien mis la dépendance en temps du Xi. Alors maintenant, traduisons les différentes formules qu'on avait tout à l'heure. Vous vous souvenez de l'équation qu'on avait ?

On avait une différence d sur dt de la trace de u et on avait un trace de u. Donc trace de U carré va devenir trace de gradient carré et puis d sur dt de la trace de u va être égal à quoi ? C'est ici que euh trace de U.

Trace de U, c'est donc la trace du gradient de XI, c'est pareil que la divergence de Xi. Et quand j'écris ça, c'est le long du mouvement. Donc, j'écris de manière explicite div d/ dt de divergence x de t gamma de t.

Et quand je vais faire la dérivée, la dérivée en temps va intervenir deux fois, une fois ici et une fois là. Donc je vais avoir une divergence de euh des rontexi plus un gamma point scalaire gradient divergence de Xi et gamma point c'est pareil que XI. Donc ça ça va être pareil que X scalaire gradient divergence de X et déron XI on a vu que c'était moins 6 scalaire gradient.

Alors, on réécrit tout ce qu'on a obtenu. Moins divergence de X scalaire gradient Xi plus X scal gradient divergence de X plus trace de gradient X carré plus Rich dans la direction XI est égal à 0. Bon, alors ça peut-être qu'elle aura l'air un peu horrible aux yeux de certains comme ça, mais c'est la formule de Bner.

Alors, ici, elle est écrite pour un Xi qui est un champ de vecteur ou si vous voulez une forme quelconque, elle va simplifier si on prend XI qui est sous la forme d'un gradient. Sixi é= gradient psi. Alors ça ça va le le qu'est-ce qu'on va dire en particulier ?

Ouais ça ça va devenir pareil que le gradient de norme de xi carré sur 2. Et ici la trace du carré du du carré de la va se transformer en une norme Hilbert Schmidth. Vous faites les comptes et vous trouvez que cela devient moins l'aplacien de gradient psi carré sur 2 plus gradient psi scalaire gradient lapien psi norme de ps au carré plus rich de gradient psy est ég à Voilà.

Alors, est-ce qu'on comprend bien tout ? Ça, c'est l'applien qui est associé à la structure rimanienne de la variété, hein, l'opérateur de la place Beltrami qui est aussi la divergence du gradient covariant. Ici, on a le brave produit scalaire.

Quand on met produit scalaire, ici c'est la métrique euh du gradient avec le gradient du laplas psi. Ça c'est la norme de Hilbert Schmidth au carré. Autrement dit la trace hein, je dis juste norme de m au carré égale trace de transposé de m x m.

Et puis là, c'est la forme une forme quadratique associée au Richy. On peut interpréter ça donc comme une relation de commutation entre des dérivées d'ordre 2 et 3 de la de la fonction psi. Une formule de commutation quadratique un peu bizarre. d'où sort un terme de richy qui est dû à la courbure.

Et évidemment à travers le fait que derrière les opérateur de la plati et tout ça, la structure rémanienne est sous-jacente. Euh, qu'est-ce qu'on va dire d'autre ? Ici, on est cette formule sur le plan logique.

Donc, vous avez vu, elle est sur le même plan que des surdités de trace de u trace de u carré plus rich = 0, quoi. Et c'est pas une formule, tout à l'heure, on avait dit c'est embêtant qu'on ait pas une formule fermée sur l'aplatien sur le sur le terminant jacobien. Ici, ce qu'on aimerait bien avoir, c'est une formule fermée faisant intervenir les trucs qu'on aime bien comme le gradient et l'applien.

L'ombre de Libert Schmidth. Là, on sait pas trop ce qu'on va en faire. Et donc c'est ça qu'on va maintenant qu'on va maintenant faire.

Quelle inégalité on peut on peut t'en sortir ? Puis d'abord, je vais faire un petit schéma pour résumer. Pour résumer, on a vu tout à l'heure, on s'est intéressé à J.

égal déterminant ja de dx exponentiel x t ps de x on avait j é= euh et on avait j est égale à trace de u et on avait une équation qui était d sur dt de trace de u trace de Q² + Rich = 0. Et ben donc ce qu'on a vu c'est que cette équation est équivalente à Bner la place de grade psi carré/ 2 plus grade psi qu'alrière gradient lapien psi norme deen psi au carré plus rich é= 0. Et ce qui fait le lien entre les deux, c'est l'équation qu'on avait tout à l'heure.

Alors, ce qu'on avait tout à l'heure comme équation, c'est déron Xi plus X gradient XI = 0. Maintenant, si vous cherchez Xi sous la forme gradient psi dépendant de t dépendant de x, ben vous trouvez que c'est satisfait pour l'équation de Hamilton Jacobi des rondé psi gradient psi caré sur 2 = 0. Donc c'est ça qui vous permet de faire le pont entre les deux.

L'évolution de psi selon l'équation des renté psi grade psi carré sur 2 é= 0 et qui rend les deux volets équivalents. Alors euh on y est presque. On y est presque.

De là on peut déduire une inégalité de Bckner. Bon et là on avait une inégalité. Je vous en ai donné plusieurs.

Par exemple euh euh L point point supérieur ou égal à L point carré sur N + Richy et cetera. Ici, on peut sortir une inégalité qui sera moins la plien grade psi carré sur 2 plus grade psi gradé la plien psi la plaen psi carré sur n correspond à appliquer cochwarce dans ce terme plus rich est inférieur ou égal à 0 et là on a quelque chose qui fait plus intervenir la sienne mais qui fait intervenir le laplacien et le gradient. OK.

Sau far Alors, grande 3 variations des raffinements. Premier raffinement possible, on peut enlever la direction du transport car la courbure ne se fait pas sentir dans la direction du transport. du déplacement géodésique.

Bon, ça veut dire quoi ? Euh peut-être je suis sur ma variété rmanienne là. Euh je regarde la distance entre deux points si vous voulez.

Peut-être qu'elle va rétrécir, peut-être qu'elle va augmenter en fonction de la courbure. Mais si je regarde deux points qui sont sur une géodésique, ben si je transporte le long de cette géodésique, la distance entre les deux points ne variera jamais. Les effets du transport ne se font pas sentir dans la direction dans laquelle on se déplace.

Et on peut à partir de là enlever la le cette direction du transport avec une petite gymnastique. Alors si vous écrivez la matrice U de T, celle qu'on avait tout à l'heure sous la forme disons, il y aura un premier coefficient correspondrait au transport dans la direction parallèle. ici des trucs, ici des trucs, ici un truc qui serait U dans la direction orthogonale.

Les coefficients ici a priori sont pas nuls. Mais on va écrire j parallèle de t égal exponentiel l'intégrale de 0 à t de u parallèle de s ds et j de t é= j parallèle de t x j orthogonale de t. Ou ça ça sera la définition de j orthogonale de t. le la distorsion telle qu'elle est sentie orthogonalement à la direction de déplacement.

Bon et ben vous faites les calculs, il y a une petite gymnastique, vous en déduisez pareil L par L orthogonale qui sera moin log j orthogonal ou encore d orthogonale qui sera la distorsion typique J orthogonale. Attention cette fois puissance 1/ n - 1 et pas 1/ n et vous trouvez des inégalités qui ressemblent beaucoup à celles qu'on a eu. par exemple L point orthogonal supérieur ou égal à L point orthogonal carré sur n- 1 plus rich ou encore d orthogonal point point sur d orthogonal inférieur ou égal à rich sur n- 1.

Donc ça c'est un premier raffinement possible. Euh quand vous regardez cette inégalité là, vous avez l'impression qu'elle est strictement meilleure que la précédente, mais en fait les deux sont équivalentes. Quand vous voulez rajouter la direction du transport, vous retrouvez l'inégalité précédente.

Euh vous allez me dire est-ce que c'est intéressant ? La réponse est oui, c'est intéressant. C'est associé souvent à des raffinements de constante.

Exemple où la nuance est importante. Bon, regardons l'équation L point supérieure ou égal à L point car sur N + K avec K strictement positif. Bon euh ça c'est une équation de rati.

Oubliez le cas. Vous avez un truc du genre l point supérieur point car. Ça c'est un truc qui a tendance à exploser.

C'est la même forme que x = x car sauf que ici x ser point. Si ça explose c'est qu'il est pas défini sur tous les temps. Si on rajoute un truc strictement positif, on a envie dire c'est encore pire.

Et de fait, en étudiant cette équation, vous pouvez en déduire. On peut montrer que les solutions ne sont pas définies sur un intervalle de temps plus long que pi n sur k. Bon et ça ça nous fait penser à quelque chose et le quelque chose c'est le théorème de boners sauf que c'est pas la bonne constante.

La bonne constante ça serait pi√ n - 1 k. Ceci nous ceci nous montre que le diamètre de m est inférieur ou égal à pi √ n sur k. Mais la bonne constante bon et pi n- 1 sur k.

Et cette bonne constante, vous l'obtenez en regardant juste la direction orthogonale. On la trouve effectivement en étudiant l'équation vérifiée par L orthogonale. [Applaudissements] C'est le premier raffinement.

Deuxième raffinement possible qui serait si on veut une variante, on peut changer la mesure de référence et la dimension de référence. Bon, changer la mesure de référence. Pourquoi ? déterminant jacobien, c'est une comparaison de volume.

Déterminant jacobien de application T, c'est égal à la limite du volume de T de BR sur le volume de BR quand R tend vers 0. Donc, il y a le volume qui intervient là-dedans. Mais peut-être que je suis dans un problème où c'est pas le volume qui est intéressant, mais c'est une autre mesure de référence.

On voudrait avoir une notion plus générale pour un autre volume pour une mesure. Alors, on va pas la prendre quand même n'importe comment. On va dire qu'elle est gentille par rapport à la mesure volume et donc on va supposer qu'elle a une densité exponentielle mo v par rapport au volume.

Et donc ça va tordre un peu tous les volumes, un peu tous les trucs mais on aimerait bien en tenir compte. Et puis si le volume est remplacé par exponentiel VX, on aimerait aussi remplacer l'opérateur laen par l'applien grade V scalaire gradient qui est l'opérateur naturel. dans ceci est la mesure invariante dans ceci est la mesure invariante dans la formule de Borner par exemple.

Et puis euh aussi la dimension peut-être qu'on la connaît pas a priori quand on raisonne en terme de volume. On n' pas donné la dimension elle a pas joué de rôle particulier. Peut-être qu'on est en train de comparer des variétés qui ont des dimensions différentes.

Peut-être aussi, comme ça arrive souvent quand on fait de la de la convergence d'espace, vous avez des espaces d'une certaine dimension qui convergent vers un espace dimension plus petite ou plus grande. En l'occurrence, ce sera ce sera plus petite dans les cas qu'on considérera. Mais dans ce cas-là, vos inégalités, vous aimeriez bien dire par qu'un espace va venir comme limite d'une suite d'espace de grande dimension. faire quelque chose avec ça.

Exemple typique, la gosienne, c'est la projection d'une sphère de très grande dimension. Donc vous aurez envie tout naturellement de faire des comparaisons avec des euh des dimensions qui sont pas la dimension de l'espace limite. Autre exemple gamma dx égal exponentiel x2/ 2 sur √2 pi dx et projection de sphère de très grande dimension.

Et on aimerait bien faire des comparaisons entre cet espace là avec et celle-ci avec lesquels on voudrait comparer. Bon alors vous vous dites je veux garder toute ma belle algèbre qui marche bien avec bonner et tout ça toutes les jolies inégalités mais en changeant éventuellement la mesure de référence et la dimension. Et le problème qui se pose à vous et le suivant, comment faire pour garder les bonnes formules ?

Alors, les bonnes formules, ça veut dire quoi ? L point point point supérieur ou égal à L point carré sur grand N plus quelque chose où le grand N ici c'est un machin arbitraire et le L point ici il incorpore la mesure mu la mesure nu dans la définition du volume jacobien et puis même chose je voudrais avoir L grade psi carré/ 2 moin grade psi scalaire gradient L psi supérieur ou égal à L psi car sur n plus quelque chose. Bon ou l et l'opérateur la plain mo grade v scalaire gradient.

Alors cette combinaison là qui intervient tout le temps, on lui donne un nom, on l'appelle gamma 2 de psi. Euh on va le prendre comme définition. C'est c'est il faut lui penser comme une sorte de commutation entre l'opération prendre le gradient au carré et d'appliquer L.

Si elle était une dérivation, ça ce serait égal à zéro. Comme elle est pas une dérivation, il y a un reste et ce reste on l'appelle gamma 2. Alors la solution c'est de remplacer Richi par Richi N. qui dépend de N qui dépend de nu.

Une façon simple c'est Rich plus la de V mo grade V tenseur grade V divisé par grand N petit n et ça ça marche dès que disons N est strictement supérieur à N ou n = N et V = 0. Et alors, vous avez tout ce que vous voulez. Alors, on a L point point supérieur ou égal à L point carré sur L.

Je mets un petit nu ici pour rappeler que la définition du L, c'est déterminant jacobien où on tient compte du mesure du volume nu plus Rich N. On a mo et on a gamma 2 de psi. supérieur ou égal à psi carré sur n plus rich n nu et puis les autres formules que j'ai donné aussi et cetera, elles s'adaptent et puis on peut aussi enlever une dimension si on veut on peut enlever une direction.

Donc ça c'est le deuxième raffinement. de 4 la condition CD de KN, ben c'est celle qu'on vient d'écrire. Moralement ça dit rich supérieur ou égal à K dimension inférieure ou égale à grand n.

Mais on cherche pas à séparer la borne sur la dimension de la borne sur Richy. Elles viennent toutes les deux ensemble. Et par définition, MG nu vérifie CD de KN.

Alors ici MG c'est une variété rimanienne lisse. NU c'est exponentiel V fois le volume V lisse tout est lisse ici. Si elle vérifie l'une des conditions équivalentes suivantes.

Alors on peut faire une longue liste. Je vais donner les principales. La première c'estγamma 2 de psi supérieur ou égal à k grade psi carré + l psi carré sur n quel que soit psi.

La deuxième c'est L point supérieur ou égal à L point carré sur N + K gamma point carré avec les mêmes notations que dans le calcul sur le déterminant jacobien. La trè c'est Richy NU supérieur ou égal à K x g la métriqueienne. La 4è c'est D point point.

Je vais l'écrire ici d point point sur D inférieur ou égal à - K/ N point carré. Ça c'est si N est fini. La 4e, ça serait la dernière serait L point orthogonale supérieur ou égal à L point orthogonal carré divisé par grand n - 1 + k gamma point carré.

Bon et pour en écrire d'autres et ainsi de suite, toutes ces propriétés sont équivalentes et elles vous traduisent le fait qu'il y a une borne inférieure sur une borne supérieure sur la dimension. Ici K c'est n'importe quoi dans R, n'importe quel nombre et grand N est supérieur ou égal à petit n. Bon, beaucoup de définitions.

Est arrivé le moment de donner des exemples et on va ici donner les exemples les plus importants qui sont les espaces de référence. Et l'idée générale, c'est que CD de KN pour énormément de choses permet de comparer l'espace qui vous intéresse à l'espace de référence. Donc la philosophie si M vérifie CD de KN, alors ces propriétés analytique géométrique disons pour beaucoup de pour Beaucoup de phénomènes seront au moins aussi bonnes que celle de l'espace de référence.

Espace de référence que je vais noter S KN. l'espace auquel on va le comparer. Tout à l'heure, courbure sectionnelle, je vous ai dit, ben pour le définir, on compare la forme des triangles, la forme des triangles dans le plan.

Ben ici, on va comparer systématiquement à un espace de référence KN qui va bien. Quel est cet espace de référence ? Ben, ce sont les espaces espaces de référence SKN de sigma constante.

Donc les espace de référence les plus naturels vont être la sphère de dimension n de rayon √ n- 1/ k. Si K est positif et n appartient à grand N ou l'espace qui dimension N si K = 0 et N appartient à grand N ou l'espace hyperbolique de rayon hyperbolique √ n- 1/ k si k est strictement négatif et n est fini Ça ça vous donne des espaces modèles pour toutes les valeurs entières de n. Mais il y a aussi des espaces modèles correspondant à n infini et correspondant à n fractionnaire.

Et en fait, il y a une famille naturelle d'espace de dimension 1 qu'on obtient en projetant les espaces modèles sur une droite. Il y a aussi les espaces monodimensionnels. On va les appeler SKN1 un 1 D par alors par quoi ?

Ben euh en courbure positive sur l'intervalle √ n- 1/ k pi/ 2 x pi/ 2 + √ n - 1 k pi/ 2. Ça a pas d'importance que vous fermiez ou que vous ouvriez les crochets ici avec la mesure nu de dx est égale à cosinus n - 1 puissance n- 1 de √ k/ n- 1 x dx. J'ai pas précisé ici mais pour tous ces espaces c'est la mesure de référence volume qu'on prend.

Ici en revanche c'est pas du tout la mesure volume qu'on prend. C'est une mesure qui a une densité. Et donc ça ça marche si k strictement positif et n appartient à 1 plus l'infini.

Euh maintenant K nul, ben on va prendre R et on va le munir de alors d'abord cas négatif, on va le munir de cosinus hyperbolique √ valeur absolue K sur n- 1 x dx. Ça c'est pour cas négatif. Je vais prendre R+ muni de x puiss n- 1 dx pour k = 0.

Et puis je vais prendre pour finir R muni de exponentiel kx2/ 2 dx pour n é= l'infini. Ça c'est infini, ça c'est infini et n infini K k n'importe comment dans R. Voilà.

Donc là, vous avez encore des espaces. dans ces espaces, ben ça va être très facile par exemple d'étudier des propriétés spectrales, des propriétés isométrique, isopérimétrique ou ce que vous voulez. Et l'idée c'est que CD de KN va se comparer à ces espaces de va permettre de comparer la variété à ces espaces de référence.

Alors, je vais prendre 5 minutes, pas plus pour donner deux exemples et deux propriétés. Alors, deux propriétés qui font le lien avec d'autres géométries. Premièrement, 4+ implique CD de N.

Enfin ici juste sigma supérieur ou égal à K implique CD de N- 1 K. C'est normal, Rich est obtenu en ajoutant des courbures sectionnelles. Donc si vous faites une hypothèse de minoration sur chaque courbure sectionnelle, ça doit imposer une hypothèse de minoration sur chaque courbure de Richy.

Si c'est si c'est lisse, euh on verra à la fin du cours que c'est vrai aussi si c'est non lisse, ça sera autrement plus du sport. Alors et puis l'autre propriété c'est que dire que m est cd de n- 1 n est équivalent à dire que le cône métrique construit sur m est cd 0n + 1. Et bien sûr, on peut toujours s'y ramener à partir de CDNK.

CDKN si K est positif par un changement par un changement d'échelle juste en dilatant ou en contractant les distances. Bon alors ici il y a quand même triche un peu quand j'écris ça parce que le cône construit sur M en général il est pas lisse. Il y a cependant un cas dans lequel le cône est évidemment lisse et c'est le cas archétypal.

C'est quand je prends M qui est la sphère. Le cône construit sur la sphère c'est l'espace kid. Et l'espace qui vient, il est évidemment C0 n + 1.

Donc exemple la sphère Snbure de Richi qui est comme N-1 et le cône ben c'est Rn ou l'espace qui E n + 1 tout entier qui n'a pas de courbure. Bon et alors avant de donner une liste la prochaine fois plus longue de propriétés qui se prêtent à ce à cet exercice, je vais en donner juste deux qui sont liés au contrôle du volume et qui se ramènent à l'isopérimétrie. Donc exemple où la philosophie s'applique, le premier qui peut-être capture le mieux ce que veut dire la la la courbure de Rich en terme de volume mais qui est une invention récente, c'est Brun Minkovski courbé courbé.

Ça date des années 2000. Euh Cordero et Rosquin et d'autres et collaborateurs puis ça a été généralisé, regénéralisé et ainsi de suite. Mais ça dit quoi ?

Si m vérifie alors je donne dans la version la plus simple CD0, ça vous y pensez. Rich positive dimension majorée par N. Alors euh il vérifie une inégalité similaire à Brun Minkovski dans RN.

Bon, Winkovski dans RN, on connaît. Ça dit que si je prends deux ensembles X et Y, alors la somme de Minkovski X + Y puissance 1/ n, ça c'est la mesure de le BG, est supérieure ou égal à X1 sur N + Y 1/ N. Bon, en terme géométrique, ça c'est pas terrible. parce que la somme comment transporter la notion de somme dans un contexte géométrique quelconque mais ça devient beaucoup plus facile si on interprète x + y non pas comme x + y mais comme 2 x + y/ 2. x + y/ 2 c'est un milieu, ça c'est un sens géométrique.

Et le volume de deux fois un ensemble pris la puissance 1 sur n, c'est pareil que deux fois le volume de cet ensemble pris la puissance 1/ n parce que la mesure de l'eb est homogène. Donc ça on peut le réécrire sous la forme x + y/ 2^ 1/ n supérieur ou égal à 1/2 de x^ 1/ n + y^ 1/ n. Et sous cette forme là, c'est très engageant et c'est effectivement ça qu'on démontre.

Si m vérifie cd de 0, alors quel que soit x et y deux en compact dans M et bien l'ensemble des milieux midpints entre X et Y comme ça l'ensemble des milieux de XY [Musique] je prends le volume et j'élève à la puissance 1 sur n c'est supérieur ou égal à 1/2 du volume de x à la puissance 1/ n plus le volume de y à la puissance 1/ n. Et vous allez me dire c'est quoi un point milieu ? Bah si j'ai un un point dans X et un point dans Y, je dirais que leur milieu c'est le point milieu de n'importe quel géodésique qui les relie.

Et donc elle me traduit exactement ça stig brikowski que sous une condition cd de zéro n il y a beaucoup de points milieux beaucoup de point intermédiaire c'est exactement l'esprit de ce que c'est courbure de richy fait une interpellation les au temps intermédiaire il y a beaucoup de points donc ça c'est un exemple emblématique sur le contrôle du volume. Et si vous voulez donc si on trace l'ensemble tous les milieux ben il a un volume qui est assez conséquent qui est jamais trop petit. Et vous voyez, c'est exactement la même inégalité que dans l'espace clidien.

Et puis le deuxième exemple que je vais juste mentionner qui est qui est celui qui l'un des au fait d'armes de Micha Gromof, c'est l'inégalité dite de Lévi Gromof. Autre exemple donc de autre exemple les viigromof vous prenez dans M alors je vous donne la version avec un volume MG nu qui vérifie CD de KN et vous prenez un ensemble A et puis euh vous voulez vous intéresser au rapport entre vous voulez montrer que Le périmètre de A est assez gros par rapport à A. Bon, et ce que ça dit, c'est que ça fait la comparaison avec la sphère avec l'espace Sn euh de rayon √ n - 1/ k, hein, l'espace de référence.

Et étant donné a ici et la sphère ici qui a la bonne courbure et la bonne dimension, je définis une calotte sphérique. Je définis une calotte sphérique B tel que volume de A sur M é= volume de B sur le volume de la sphère hein. Tel que le volume relatif est le même.

Le volume de du périmètre de A mesuré dans M avec une dimension n- 1 sera supérieur ou égal au volume du périmètre de B ici pareil mesuré dans la dimension dans la dimension n- 1. Donc l'inégalité isopérimétrique, si on veut le profil isopérimétrique de M, s'il vérifie CD de KN est au moins aussi bon que celui de la sphère. modèle.

Voilà. Alors donc ça c'est l'autre exemple. Alors, à partir de la prochaine fois, je vous ferai une liste de propriétés pour lesquelles euh ce principe s'applique.

Il a des égalités spectrales, des inégalités deèf, des inégalités isopérimétriques, des contrôles de la chaleur, beaucoup de choses comme ça. Et de manière générale tout ce qui fait intervenir des volumes et des et des distances et des et voilà et on trouve des principes de comparaison basé sur CD de KN. Et donc ça c'est le ça c'est les viigromof et l'un des but du cours donc c'est de vous expliquer comment démontrer ça dans un cadre non lisse et le généraliser à d'autres à d'autres cadres tels que euh par exemple des espaces d'Alexandrov ou des espaces finsriens.

Alors pendant pourquoi c'était emblématique et pourquoi j'avais cité ça dans mon bouquin comme l'un des problèmes les plus excitants dans l'affaire. La preuve de Lie Gromof, j'en reparlerai la prochaine fois, elle est c'est une preuve analytique dure. Il y a un moment où il faut appliquer des résultats théorométriques de la mesure qui demande beaucoup de régularité. résultats tels qu'on les faisait dans les années 70 avec Almgren et tout ça sur la régularité des surfaces en fonction de de courbure moyenne constante et donc c'est une preuve qui est très gourmande en régularité qui se porte très mal et en même temps c'est une inégalité fondamentale.

On a envie de dire que l'isopérimétrie c'est ce qu'il y a de plus fondamental comme une égalité géométrique et celle-ci porte sur avec juste la courbe de Richie. Donc on a envie qu'elle soit vraie dans la plus grande généralité possible. Bon et jusqu'à il y a quelques mois, ça restait encore vrai que dans un cadre extrêmement lisse et d'un coup la situation s'est débloquée et maintenant on le sait faire sans supposer aucune régularité autre que juste dire que les geodésiic vérifient une propriété de déterminisme et que il y a donc la borne de courbure de Richy.

Voilà donc le programme. Questions chers amis. Ouais.

Tu tu as fait allusion disons à des Calines sommes. Ouais. Euh rhumanien, c'est une une colline et puis tu as une suite, disons d'événements climatiques, d'événements géologiques qui la transforme en une montagne avec beaucoup d'aspérité où tu as disons des convexités, des concavités en chaque point et cetera, tas de trucs comme ça.

Alors, est-ce que disons dans ce que tu as évoqué tout à l'heure comme cas limite euh ce ce genre de situation est abordé ? Ouais. Alors, on en parlera euh dans une certaine mesure.

Oui, parce que typiquement si tu mets une borne d'un côté ou de l'autre, ça va te faire que les uns ou les autres. Enfin, tu pourras avoir par exemple des des singularités de type conique, des choses comme ça. Oui.

Oui. Oui, on parlera de ça. Alors, autre remarque.

Bon, euh toutes cette théorie, c'est disons sur ces deux en somme des dérivées secondes où tu as des produits scalaires. Ouais. Hein ?

Est-ce que qui va sortir hein ? Est-ce qu'on peut aller un peu plus loin ? C'est-à-dire que bon, tu considères des sections qui ah produit scalaire au sens, tu veux dire c'est L2, c'est genre quelque chose qui est L2.

Oui. Oui. Tu tu considères des sections hein en somme disons.

Mais est-ce que tu peux alors alors alors alors dans la vie il y a les espaces métriques. Bon on la géométrie. On va dire que l'espace métrique c'est le plus fondamental même si évidemment on peut aussi les espaces topologiques.

Après si on veut faire plus précis que les espaces métriques, plus si on veut faire plus générage des espaces métriques, il y a les espaces métrique plus pardon plus réguliers, il y a les espaces métriques géodésiques dans lesquels les géodésiques sont bien définis. Bon, ensuite plus particulier, il y a les espaces métriques géodésiques non branchant. Non branchant, ça veut dire que les géodésiques ont une sorte de propriété déterminisme et que vous avez jamais quelque chose comme ça de géodésique qui peuvent se séparer, revenir.

Vous avez jamais de bifurcation de géodésique. Ça ça ça c'est plus régulier. Ensuite espace métrique judésique non branchant.

Vous avez les espaces de type alors par rapport à ce que j'ai que j'ai donné, il y a va y avoir les espaces et là on va on va mettre deux de deux branchements. despaces de type carton Alexandrov Toponogof avec une borne inférieure sur la courbure sectionnelle et puis ici les espaces fins rien. Euh lisse ici c'est du genre lisse mais avec une métrique qui est donnée globalement par une norme a priori pas un produit scalaire.

Ici c'est genre produit scalaire mais non lisses et tous les deux admettent comme cas particulier les variétés rimaniennes. Bon ça c'est un peu ce qu'on peut ce qu'on peut garder en tête et évidemment les les variétés rimaniennes comme ont les espacesiens comme les plus gentils, les plus sympathiques des espaces si on veut. Il y a une bifurcation ici.

Euh, on pourrait regarder aussi des fininsler non lisse, mais c'est un peu cumulé les difficultés. Euh, c'est pas c'est pas spécialement à la mode, mais cette dicotomie, elle est vraie et il y a ces deux grandes classes d'espace, les finsler list d'une part, les quatre plus d'autre part qui ont été qui ont été très étudiés. Ici, nous, on va se situer en fonction de ce qu'on en fonction des sous-hypothèses qu'on regardera. sera dans ce cas ou ce cas ou ce cas ou ce cas.

On sera euh on saura dire quelques trucs pour ça, mais l'essentiel se passera là, là et là et on verra que il y a un moyen de faire un LVromof qui s'applique ici à ce niveau-là et qui donc englobe aussi bien des espaces 4 plus que des espaces finirlis alors que avant ils étaient connus seulement ici. Voilà. Une autre question.

Tout va bien. C'est la mise en jambe. Remarque première généralisation pour les géomètres du nom liste.

Donc ce qui est tout en basien, c'est des espaces je plus gentil dimension, c'est les arbres qui ont pas le tout à fait. Ils sont euh ils sont là, ils sont là. Ouais, je suis d'accord.

Mais euh ça c'est pas une théorie qui Richy marche très mal avec les arbres. Richy marche très mal. On revient à ce que je disais.

Courbure sectionnelle majoré ça marche bien. Courbure de Richy majoré ça marche pas. Alors euh je parlais de Yan Yan Olivier et les autres c'est pour un cas qui va se brancher à partir de là qui serait qui qui typiquement ils vont regarder des des chaînes de Markov dans des espaces discrets.

Là c'est encore autre chose mais disons on peut regarder de quel on peut dire peut-être qui se rapproche des uns ou des autres en par approximation et c'est encore autre chose. les arbres, c'est c'est clair. Non, ça marche pas.

Enfin, je dis je dis c'est clair, ça marche pas. Peut-être qu'un jour quelqu'un trouvera une façon de le faire marcher en modifiant quelque chose fondamentalement, mais avec ce que j'ai dit là, ça marche pas. Et ben c'est bien.

Merci [Musique]