15' de plus avec le plus poète des mathématiciens, Cédric Villani - 15' de plus

Et dans 15 minutes de plus ce matin, j'ai le bonheur de recevoir l'un des plus grands mathématiciens de notre époque, lauréat de la médaille Fields, le Nobel des maths. Il nous explique en quoi les mathématiques sont la poésie de la science. Vous avez bien entendu, la poésie de la science, c'est le titre de l'un de ses essais absolument passionnant. Bonjour Cédric Villani. Bonjour Ali Badou. Et bienvenue. Alors comme tous les vendredis, on va démarrer avec une expérience de pensée. Il faut imaginer qu'on est en train de jouer au ping-pong, on s'y est tous essayé. Vous avez joué en compétition pendant des années.

J'ai fait un peu de compétition, c'était un bonheur.

Et

quel beau sport, ce sport encore plus passionnant maintenant qu'il y

a

les grandes vedettes internationales, les frères Lebrun.

Bien sûr, avec les Jeux Olympiques. Alors ils le font beaucoup mieux que nous, mais on tape dans la balle. Parfois en produisant ou en tout cas en essayant de produire un effet de lift, ça s'appelle l'effet Magnus. Quoi de commun entre les mathématiques et le ping-pong, Cédric Villani

?

La mathématique, c'est cette science qui s'invite dans tous les processus abstraits, concrets, en sous-jacents. On peut même penser que c'est l'essence de la réalité. Vous n'avez pas forcément besoin de comprendre la mathématique pour comprendre le processus. Et vous n'avez certainement pas besoin de faire des études de mathématiques pour mieux jouer au ping-pong. Mais dites-vous bien, derrière la trajectoire incurvée de votre balle de ping-pong, bien sûr qu'il

y a

des effets de mécanique des fluides qui s'expliquent en termes de pression, en termes de vitesse, de déviation de trajectoire. Et l'effet Magnus, c'est le nom que porte la déviation de trajectoire, soit des balles liftées, soit des balles coupées, des topspins, des sidespins, pardon, comme on dit dans le monde du ping-pong. Et si votre boulot, c'était par exemple de simuler sur un ordinateur à coup d'algorithme la trajectoire d'une balle de ping-pong, vous auriez besoin de cet effet Magnus pour le mettre en place. Si vous êtes un joueur de ping-pong occasionnel ou même professionnel, vous l'utilisez, vous apprenez à le dompter sans même le connaître, sans même en avoir conscience.

Mais c'est beau aussi, ça nous permet la réalité d'approcher le monde soit par l'expérience sensible et la pratique, soit par l'expérience intellectuelle où on démonte les choses à coup d'équation. La seconde approche est d'habitude beaucoup plus lente, mais peut avoir des récompenses considérables qui vous permettent d'aller sur des terrains où l'expérience seule ne peut aller.

Alors, vous êtes expert justement de ces deux domaines. Vous dites la mathématique ?

Moi

j'aime bien dire la mathématique, il

y a

une tradition littéraire qui aime bien le singulier. Après tout, pourquoi dirait-on la physique, la géographie, la philosophie, la théologie et les mathématiques ? Il n

'y a

pas de bonne raison, si ce n'est un archaïsme de la langue qui remonte au fait que dans l'antiquité grecque, dans l'antiquité latine, on parlait des quatre arts mathématiques. Les quatre arts mathématiques, c'est comme ça qu'on désignait du temps de Platon, du temps d'Aristote, la géométrie, l'arithmétique, l'astronomie et la musique. Et la musique. C'est une classification. Alors, il y a bien des choses à dire sur la parenté musique et mathématiques, bien sûr, sujet passionnant, mais c'est une classification évidemment obsolète. Et moi, j'aime bien considérer qu'il faut collectivement passer au singulier. Au fait, l'expression mathématiques sont la poésie des sciences.

Dans ce titre, je me suis permis le pluriel parce qu'en vrai, c'est une citation. C'est une citation de l'intellectuel et homme d'État africain Léopold Sédar

Senghor

qui un jour disait à un de ses collègues mathématiciens, vous, les mathématiciens, vous êtes les poètes des sciences. Les mathématiques sont la poésie des sciences. Eh bien, je suis complètement d'accord avec lui. Et ce petit essai dont vous avez eu la bonté de dire du bien développe. En quoi mathématiques et poésie sont des cousines ?

Parce que les mathématiques ou la mathématique et la poésie ont en commun un rapport au langage. Avant d'en parler, expliquez-nous pourquoi la mathématique, les mathématiques sont la poésie des sciences, puisque c'est donc le titre de votre essai. Et quoi de commun entre la poésie et les mathématiques, entre la créativité, disons, et un monde fait de contraintes, fait d'hypothèses évidemment, mais fait de contraintes rigides, de lois, d'axiomes, de démonstration, de preuves ?

D

'abord,

la

contrainte et la créativité, c'est un peu comme l'ombre et la lumière. L'une a besoin de l'autre pour se réaliser. Si tout est permis, alors vous n'avez pas besoin d'être créatif. Vous devenez créatif quand il faut sortir d'une contrainte, la contourner. Et les deux sont associés. Et ce n'est pas un hasard si en mathématiques, la discipline la plus contrainte du point de vue du raisonnement est de très loin. Ce qui fait la réputation d'un grand mathématicien, c'est bien plus son imagination que sa rigueur. Certes, il ou elle doit appliquer les règles, mais il ne deviendra pas célèbre parce qu'il est rigoureux.

Elle deviendra célèbre parce qu'elle a trouvé la nouvelle théorie, le problème auquel personne n'avait pensé, la nouvelle définition qui change les choses. Et cette imagination, dans un carcan de contraintes, c'est la marque mathématique sûre. Et la poésie, si vous y réfléchissez, historiquement, c'est l'expression la plus contrainte de l'humanité. C'est celle dans laquelle, sous tous les cieux, on se donne des contraintes de rythme, de sonorité, certains mots qu'on peut employer ou d'autres pas. Et en poésie aussi,

il

y a associé cette forte contrainte, y compris des contraintes que les poètes souvent s'imposent à eux-mêmes, qui vient avec le fait que c'est la créativité, une partie qui est intrinsèque, une partie qui est même forcée par ces contraintes, qui en est prisée. Formalisme. Formalisme, du formalisme, par-dessus ce formalisme, il

y

a la créativité. Mais il y a aussi, bien sûr, cette question du langage. En mathématiques, certes, c

'est

un raisonnement, c'est un enchaînement, une démonstration de concepts et de règles. Mais,

c

'est aussi quelque chose que vous devez transmettre à quelqu'un. Quand vous le transmettez, on ne transmet jamais un raisonnement complet. C'est impossible, c'est inhumain. On transmet les idées principales, les mots comptent, le sous-texte compte, le contexte est important. Il y a des images qui sont derrière. Ça peut être très simple. Si je dis epsilon, mon interlocuteur comprend que je veux parler d'un petit nombre, un nombre qui aura vocation à devenir petit. Si je parle d'une variété différenciable, ça éveillera certaines images. Il y

a

la définition, mais il y a aussi l'image que ça éveille. Pareil en poésie, il y a le mot, mais il y

a

aussi ce que ça éveille comme image, le contexte. En poésie, on associe les images pour faire ressentir une impression dans le cerveau de

l

'interlocuteur. En fait,

poésie

et mathématiques sont deux formes très élaborées de représentation du monde avec leur propre langage et leurs propres règles, très différentes l'une et l'autre, mais qui veulent parvenir à éveiller dans le cerveau de la personne à qui on s'adresse une certaine nouvelle idée, une représentation, une sensation, faire comprendre ou ressentir quelque chose.

Avant de prendre un exemple que vous connaissez par cœur, un mot quand même pour parler de la métaphore, ou de l'image, ou des analogies qui sont extrêmement présentes dans le principe même de la poésie. Faire des mathématiques, c'est donner le même nom à deux choses différentes, c'est ce que disait le grand scientifique Henri Poincaré.

Absolument. Et

quand on parle de métaphore, on fait aussi le lien entre deux choses différentes, ça c'est déjà chez Aristote, et comme un déplacement du sens mathématiques et poésie, ce qui les unit, c'est de pouvoir faire le pont, le lien, entre deux concepts, deux idées, deux images différentes.

Extrêmement important, cette parenté de forme que nous donnent effectivement les outils, d'une part la mathématique et d'autre part la poésie. Puis Aristote, c'est pas anodin que vous le citiez, Aristote, dans l'un de ses textes, définit les trois grandes attributs de la beauté comme étant l'ordre, la précision et ce qu'il appelle la commensurabilité, le rapport des choses les unes aux autres. Évidemment, des concepts éminemment mathématiques. Et Aristote

tenait

que la mathématique était la forme la plus belle de raisonnement, car elle possédait au plus haut degré ces notions de précision, d'ordre et de commensurabilité. Mais effectivement, ordonner le monde, c'est dire qu'est-ce qui ressemble à quelque chose. Et quand vous avez une métaphore, vous dites ceci, ça ressemble à ça, ça vous permet de faire le lien entre des choses. En mathématiques, on fait ça sans arrêt.

D

'abord, un objet mathématique est bien souvent une métaphore du monde. Quand on dit une fonction, c'est comme une métaphore pour des milliers, des millions d'actions différentes ou quelque chose, à travers un processus, donne un résultat. Quand on parle... F

de x

égale,

c'est une métaphore.

Oui, absolument.

Ça

peut être le fait que si je vous pose une question, vous me donnez une réponse. Le processus qui a la question associe la réponse, c'est une fonction. Après tout ce que font les grands modèles de langage qui emplissent l'actualité, les tchats GPT, Mistral et autres, ce sont des fonctions. Vous leur posez une question,

ils

vous renvoient une réponse. Et ainsi de suite, quand vous élevez quelque chose au carré pour avoir la surface d'un carré, f de la longueur égale la surface. C'est une fonction et c'est comme une métaphore de l'opération par laquelle vous allez calculer l'air d'un objet. Donc tout ce monde rempli de métaphores et d'ordres qui vous disent ceci ressemble à cela, ceci est égal à cela, c'est effectivement une opération de construction du monde, de compréhension du monde. Poincaré disait, on fait la science, on construit le savoir avec des faits, comme on construit une maison avec des pierres. Mais une théorie n'est pas plus un amas de faits qu'une maison est un amas de pierres.

Représenter le monde et comprendre le monde, ce n

'est

pas juste faire la liste de tout ce qu

'il y a

dans le monde. C'est dire, voilà, il y

a

des catégories, ceci ressemble à cela. Voilà,

si la mathématique était un poème, Cédric Villani, il y en a un que vous connaissez par cœur et que vous affectionnez particulièrement, c'est « Les cimetières marins » de Paul Valéry. Oui, alors d'abord... Est-ce que vous pourriez d'abord en citer quelques verbes, puisque vous le connaissez par

cœur, ce

long poème, et nous expliquer pourquoi

? Ce

toit tranquille où marchent les colombes, Entre les pins palpites, entre les tombes, Midi le juste y compose de feu, La mer, la mer toujours recommencée. Ô récompense, après une pensée, Qu'un long regard sur le calme des dieux

! Quel

pur travail de fins éclairs consume, Main diamant d'imperceptibles écumes, Et quelle paix semble se concevoir, Quand sur l'abîme un soleil se repose, Ouvrage pur d'une éternelle cause, Le temps scintille, Le songe et savoir, et ainsi de suite. Alors, je fréquente depuis quelques années le beau Club

des poètes. J'indique à nos auditeurs que

vous venez donc de le citer de mémoire,

et que

vous pourriez continuer...

J

'ai mon petit stock, vous savez, je fréquente le Club des poètes, tenu par Blaise Ronay dans le 7e arrondissement, où on déclame de la poésie souvent le soir, et j'ai appris ça sur le tard, mais c'est enrichissant et important d'avoir son catalogue de poèmes qu'on est capable de décider, de réciter. J'en ai quelques dizaines en stock.

Et Valéry, je l'ai

choisi en particulier pour plein de raisons. D'abord, Valéry était un passionné de science. Il a entretenu une correspondance avec Albert Einstein. Il était excité comme un gamin quand il l'a rencontré. Il avait un peu l'ambition d'être un homme universel. Il connaissait tant de théories. Et puis, Valéry était passionné par l'articulation entre science et littérature. Valéry, dans ce poème, le cimetière marin, se lance un défi plein de contraintes. Et il se dit, je vais quelque chose qui va évoquer cette situation. Alors, c'est le cimetière marin à 7e, un endroit où il y

a

à la fois le cimetière qui donne sur la mer, donc la plage, les tombes, le soleil, l'ombre, le bruit des cigales, tout ce que vous voulez, la mer. Et il se donne le défi de décrire cet instantané dans un poème qui représente tout le cycle de la vie et des éléments, de la vie et de la mort. Et quand vous regardez, vous rentrez dans le texte, quand vous l'apprenez, ça vous force à le connaître beaucoup mieux et à l'intégrer à vous. Et vous voyez que, par exemple, ce sont 24 strophes

de

6 vers dont chacun fait 10 syllabes. Et Valéry dit que c'était important pour lui, les 10 syllabes, ça a

conscience de l

'inflexion. 10 syllabes, des décasyllabes. 10 syllabes fois 6 vers, ça fait donc 60 syllabes par strophes. Et c'est donc clair qu'il a voulu représenter les 24 heures de la journée, 24 fois 60 minutes. Pour un cycle, c

'est

d'autant plus clair que ça commence avec ce toit tranquille où marchent des colombes. Et ça se termine aussi avec ce toit tranquille où picorait des phoques. Donc, il y a le cycle, on part du toit, on revient vers le toit, on fait tout un cycle, toute une journée entière et un voyage dans la vie et la mort, tout en restant sur un instantané. Et Valéry dedans, on le voit, il évoque certains concepts physiques, certains concepts mathématiques, certains concepts biologiques. J'aime bien voir aussi toute cette créativité qui vient par-dessus les contraintes et la façon dont il a construit en recherche très clairement.

Il

a passé longtemps à tout mettre comme une belle architecture dans ce poème. Un petit point sur ces vers qui me fascinent. Quel pur travail de fins éclairs consume main diamant d'imperceptibles écumes. C

'est

sa description de la mer. Et vous le dites, et nous avec notre expression, alors d'abord,

ce n'est

pas un langage simple, je vous mets au défi de le faire comprendre à votre gamin de 10 ans ce que ça veut dire ça. Quand vous avez plus de bouteilles, vous voyez les mots, les concepts, les métaphores qui agissent sur votre cerveau. Et vous voyez ce chatoiement impossible à saisir, les petits éclairs sur la surface de la mer, ça va, ça vient, ça se défait. De l'imperceptible écume, des petits diamants qui apparaissent, qui disparaissent. Et là, vous voyez, le mathématicien, il vous décrit ça avec une équation incompréhensible au profane, des ronds U sur des ronds T, plus U scalaire gradient U, plus gradient P égale nul à place U, par exemple. Oui. Mais derrière,

il

y a des concepts, une façon de voir ce qui est important. Et là, le poète, il vous dit, voilà, ce qui est important, c'est ce petit assemblage de chine-écume, de dentelle, de lumière qui va, qui vient, impossible à saisir. Et pourtant, avec les mots, je vais vous en faire une représentation dans votre cerveau.

C'est génial, Cédric Villani. Au fond, la morale de l'histoire, ce serait que nul ne peut être mathématicien s'il n'a l'âme d'un poète. C'est une grande mathématicienne que vous citez.

La grande mathématicienne, Sofia Kovalevskaya, la grande, grande, et elle a vu juste.

Merci infiniment, Cédric Villani. On aurait pu continuer ces 15 minutes bien plus longtemps et bien au-delà de ce quart d'heure qui nous est imparti. Et tout de suite, on retrouve Totemic de Rebecca Manzoni. Je vous souhaite une sublime journée.

Vous aussi, Elie Badou, merci.