Mathématiques : l’élève peut-il dépasser l’IA ?

Bonjour Sylvia Serfati, vous êtes mathématicienne et professeure au laboratoire Jacques-Louis Lyons, vous venez de publier des équations personnelles, c'est un livre passionnant aux éditions Flammarion, il a obtenu d'ailleurs le prix Monori, et puis aujourd'hui vous entrez à l'académie des sciences, je crois que c'est à l'âge de 15 ans que pour la première fois on a dit de vous, vous êtes un génie.

Oui alors c'était une camarade qui me disait ça un petit peu en blaguant mais c'est à l'âge de 15 ans que j'ai eu une sorte d'illumination que peut-être mon métier, mon destin serait de devenir mathématicienne.

Ce qui n'était pas le cas avant ?

Pas du tout, non non, j'étais une bonne élève mais j'avais pas du tout de prédestination je dirais, ni familiale, ni personnelle à faire des maths.

Coup de foudre, c'est déroulé avec une inégalité fonctionnelle plus générale.

Oui alors c'est ce que je raconte dans la scène d'ouverture du livre en fait, à la suite d'un exercice qu'on avait à faire à la maison, un exercice du livre en première, j'avais passé presque une heure chez moi à le résoudre et j'avais vraiment tâtonné, tourné en rond et trouvé une solution un peu compliquée finalement, rétrospectivement mais qui généralisait le problème et je l'ai proposé en classe et la prof était un peu étonnée et cette camarade aussi et surtout je me suis rendu compte en proposant cette solution qui était différente de celle de tout le monde que j'avais aimé simplement ce processus de recherche, de me perdre pendant une heure au fond des détours de la pensée et c'est ça qui m'a fait me dire tout d'un coup, vraiment comme un flash, mais en fait ça pourrait me convenir ce truc.

Alors que donc cette résolution que vous avez faite, vous aviez 15 ans, vous l'avez faite de manière particulièrement abstraite, peut-être trop abstraite ?

J'avais simplement généralisé le problème, ce qui est quelque chose qui est une bonne manière de faire en maths parfois quand vous n'arrivez pas à répondre à une question, vous pouvez l'immerger dans une question plus vaste dont elle ne sera qu'une conséquence si vous arrivez à résoudre la question plus vaste. Donc finalement j'avais une démarche assez naturelle pour un chercheur sans le savoir.

Mais je voulais en fait vous entendre sur la notion d'abstraction puisque c'est une notion dont on a souvent eu l'occasion de parler tous les deux et je pense que justement il y a quelque chose qui fascine dans les mathématiques. Paul Valéry était fasciné par cela, c'était justement cette dimension abstraite.

C'est-à-dire que les mathématiques doivent passer par une dimension abstraite et par un langage abstrait et c'est ça qui malheureusement parfois les rend un peu difficiles à pénétrer, qui fait qu'on peut en avoir peur. Alors qu'en réalité aussi souvent les notions qu'elles contiennent pour les mathématiciens sont des choses assez concrètes, assez tangibles dans notre esprit. Donc c'est une des choses que j'essaye d'expliquer, c'est-à-dire qu'il ne faut pas forcément en avoir peur, c'est un petit peu comme une langue étrangère qu'on ne comprendrait pas au premier abord. Si vous voyez un texte en japonais, ça va vous paraître abscond, mais qu'on peut apprendre en fait.

Et il faut se laisser apprivoiser en quelque sorte ou soi-même apprivoiser les mathématiques pour arriver à pouvoir les aimer, les comprendre et à commencer à avoir le sens qui apparaît dans cette abstraction.

Ce qui en tout cas prédomine dans votre trajet, c'est d'abord un trajet d'excellence classique dans l'excellence, donc on prépare Louis de Grand, l'ENS, bref rien que du très classique, très cosmopolite puisque les universitaires de haut niveau voyagent un peu partout. Ce qui est intéressant c'est que lorsque vous arrivez aux Etats-Unis, où vous auriez pu rester, eh bien on vous dit mais tu ne vas pas t'embêter à faire des maths, fais de la finance.

C'est ce que me disaient les gens dans la société, dans les soirées en ville à New York bien sûr, les gens ne comprenaient pas ce que c'était que la recherche en maths. Je me suis rendu compte que c'était une discipline à la fois très connue et très méconnue, c'est-à-dire que tout le monde a rencontré les mathématiques, mais peu de gens savent vraiment ce que c'est que faire des mathématiques de manière contemporaine, ce que sont les mathématiques vivantes, la recherche. Et donc évidemment pour les gens que je croisais à New York, mais pas seulement à New York, la maths ça doit bien servir à quelque chose, et si ça peut servir à quelque chose ça doit être à faire de la finance.

A l'époque c'était la vogue, les années 2000. C'est plus le cas ? Maintenant ce serait la tech, on me dirait d'aller faire de l'IA, ou d'aller chez Google.

En tout cas il s'agit clairement de faire non pas de la recherche en mathématiques, mais de faire de l'argent, puisque j'imagine qu'on n'est pas rémunéré de la même façon lorsqu'on travaille dans la finance hier chez Google aujourd'hui, ou bien lorsqu'on est chercheur en maths. Vous avez décidé de ne pas faire de finances, et de faire de la recherche en France, et ça ça mérite aussi une explication Sylvia Cerfati.

Oui, j'ai quand même passé presque 15 ans à en cumuler aux Etats-Unis, et presque autant en France, donc j'ai fait vraiment moitié-moitié, mais en partie parce que j'aime vivre en France aussi, donc on peut tout aussi bien y faire des maths. Mais oui, mon rêve d'adolescente c'était de faire de la recherche, et donc je ne me suis pas laissée, disons... Séduire par les Etats-Unis. Séduire par les sirènes, non mais par les sirènes de l'argent finalement. Même s'il y a des métiers très intéressants, je pense, dans la finance ou la tech.

Mais c'est surtout difficile de bosser en France dans une université qui est paupérisée, qui est peu considérée ?

C'est vrai que la situation des universités françaises s'est plutôt dégradée. La reconnaissance du métier, les salaires, etc.

Il faut le dire aux auditrices et aux auditeurs, parce que, bon, pour ceux qui n'ont plus la chance de faire des études, on ne se rend pas compte à quel point la France laisse complètement dériver ses facs.

C'est vrai, je pense. Enfin, en tout cas, au niveau des moyens, au niveau des salaires qui simplement ne suivent pas l'inflation depuis 20 ans. Donc, le niveau de vie d'un professeur d'université, aujourd'hui, n'est pas ce qu'il était il y a 20 ou 30 ou 50 ans.

Aux Etats-Unis, vous seriez payé dix fois plus que ce que vous l'êtes en France ?

Non, c'est plutôt de l'ordre de trois.

Oh, vous êtes modeste.

Mais bon, on ne va pas parler de chiffres. Le but, c'est d'essayer de parler de maths et de donner envie aux gens, je pense.

Oui, bien sûr. Mais le but aussi, c'est d'expliquer ce qu'est la vie concrète d'une chercheuse en maths. Alors, je dis chercheuse parce que l'autre aspect de la chose, et vous en parlez dans votre livre Équations Personnelles, c'est que vous êtes une femme et que peu de femmes se destinent aux mathématiques, Sylvia Serfati.

Alors, c'est vrai que c'est un métier, oui, à dominante majoritaire masculine. Donc, c'est aussi un petit peu pour ça que j'ai voulu écrire ce livre. C'est pour qu'on entende d'autres voix et pour éventuellement pouvoir donner envie à des jeunes filles, simplement se dire que c'est possible de déjouer les déterminismes, de surmonter éventuellement ses doutes. Je parle aussi dans le livre de mes doutes, j'en ai eu aussi, et je pense que c'est important qu'on puisse se dire que c'est possible.

Et si vous avez des enfants, éventuellement lire le livre pour leur montrer que les maths ne sont pas forcément ce qu'ils pensent et qu'on peut ne pas en avoir peur et apprendre à les aimer ou en tout cas comprendre qu'elles recèlent beaucoup plus que ce qu'on croit, c'est-à-dire qu'elles sont aussi un domaine de créativité, d'expression de ses goûts, un domaine où on peut être inspiré, qui peut se rapprocher d'ailleurs de démarches assez artistiques, de tout ce qui est de l'ordre de la recherche, et aussi qui nous amène à créer des formes, des concepts pour énoncer, pour découvrir une forme de vérité qui elle-même nous permet de comprendre le monde et d'agir sur lui.

C'est une question évidemment classique, vous en parlez dans l'équation personnelle d'ailleurs, le fait d'être une femme, en quoi cela vous a-t-il aidé ou bien au contraire nuit, Sylvia Cerfati ?

Je pense qu'au départ c'était plus difficile, surtout en classe, parce que je raconte d'ailleurs des épisodes assez désagréables au lycée ou en prépa où simplement des garçons roulaient des mécaniques et vivaient assez mal qu'ils puissent y avoir une fille devant eux, tout simplement.

Donc ça m'a obligée à me durcir un peu le cuir, et ensuite une fois qu'on arrive à surmonter tout ça, à ne pas se laisser faire, avoir été une fille m'a plutôt servi, puisqu'une fois que j'étais normalienne, j'étais quand même prise au sérieux, simplement du simple fait d'avoir ces titres, et dans le milieu professionnel, les gens se rendent bien compte qu'il faut faire plus de place aux femmes, si on peut en trouver, qu'ils soient bonnes, on les prend, donc ça m'a ensuite plutôt ouvert des portes, je dirais.

Vous avez travaillé notamment sur la supraconductivité et sur les vortex qui sont des tourbillons, il faut que vous nous expliquiez sur quoi précisément vous avez travaillé, j'ai lu des choses sur les équations de Ginzburg-Lando, qu'est-ce qu'elles disent ces équations ?

Oui, tout à fait, donc les équations de Ginzburg-Lando, sur lesquelles j'ai fait ma thèse d'ailleurs, sont des équations d'un domaine qui s'appelle la physique de la matière condensée, et qui servent à décrire notamment les phénomènes de supraconductivité et de superfluidité.

Rappelez-nous ce qu'est la supraconductivité, dans quelles conditions on a de la supraconductivité ?

Dans certains métaux, si vous les mettez à très basse température, ils se mettent à conduire l'électricité sans résistance. Donc ça a des applications potentiellement énormes. Vous avez des trains à grande vitesse au Japon qui fonctionnent grâce à des aimants supraconducteurs qui mettent le train un petit peu en lévitation au-dessus du rail, et il peut donc circuler presque sans frottement. Donc c'est un phénomène maintenant bien compris.

Et j'ai simplement voulu étudier l'équation qui représente ce phénomène, et voir quelles structures mathématiques dans l'équation nous permettent de prédire ce qui va se passer dans le matériau, et notamment l'apparition de ces tourbillons, ces vortex, comment ils interagissent, quelles formes ils prennent, et comment on peut expliquer ce qu'on observe dans les expériences, si ça vous intéresse. Donc je peux vous dire qu'on observe en fait que ces vortex s'organisent en réseaux triangulaires. Donc il y a ces espèces de formes très particulières. Et c'est ce qu'on a essayé d'expliquer grâce aux mathématiques.

C'est-à-dire qu'en fait, vous vous êtes saisie d'un certain nombre d'intuitions de physiciens pour essayer de leur donner une rigueur mathématique.

Voilà, si vous voulez, on essaye de partir des calculs que feraient des physiciens, mais on les approche d'une manière différente, parce qu'on essaye de tout démontrer. Dans notre approche de mathématicien, en tout cas la mienne, tout est démontré. Donc c'est une façon différente de regarder le même problème, avec des lunettes un peu différentes.

Bon, vous avez continué à travailler sur d'autres phénomènes physiques, notamment autour des lois de Coulomb. Il faut expliquer ce que sont les lois de Coulomb et en quoi c'est essentiel pour étudier, par exemple, des milieux gazeux.

Alors, la loi de Coulomb, c'est l'interaction électrostatique, l'interaction électrique fondamentale dans la loi, la force électromagnétique qu'on rencontre partout dans l'univers. Donc c'est une des relations fondamentales de l'univers avec la gravitation. La gravitation électrostatique. L'éltrostatique dit que deux corps chargés interagissent de manière coulombienne. Et en fait, ça a un rapport avec les supraconducteurs et Gilles Boulando. Ce n'est pas par hasard que je suis arrivée à ça.

Non, je n'ai pas dit que votre trajet était incohérent. Non, non, pas du tout. Non, mais alors, en lisant Équation personnelle, je me suis dit qu'il y avait quelque chose d'extrêmement intéressant dans votre bouquin parce que très souvent, on considère qu'il y a la recherche appliquée et que la recherche appliquée, c'est une forme un peu secondaire par rapport à des recherches qui sont des recherches fondamentales. Et en fait, on se rend compte que ce n'est pas du tout ça tel que vous la décrivez.

Vous décrivez en fait une imagination de plein exercice dans votre façon d'appréhender la recherche appliquée et une manière de théoriser de façon très abstraite des situations qui sont certes des situations concrètes en physique, mais concrètes avec un tel niveau d'abstraction que finalement, on ne sait pas du tout si on a affaire à du réel ou à de la représentation.

Non, mais effectivement, de toute façon, pour moi, il n'y a pas vraiment de maths pure et de maths appliquée. Il y a un continuum avec des concepts mathématiques qui nous aident à éclairer toutes sortes de situations. Et pour revenir à la physique, effectivement, on retrouve ce que disait Galilée, c'est-à-dire que la nature est un livre écrit en langue mathématique et on a besoin de l'outil mathématique, de la langue mathématique, de ces concepts pour arriver à décrire même des choses assez concrètes.

Ah oui, c'est plus que d'écrire ce que vous faites, parce qu'il y a vraiment le sens du verbe comprendre au sens fort du terme, c'est-à-dire qu'on a la supraconductivité et donc si on a fait un peu de physique, on voit ce qu'est la supraconductivité dans certaines conditions. Vos équations mathématiques permettent de comprendre pourquoi il y a de la supraconductivité. Conductivité, excusez-moi, mon rhume n'aime pas ce mot.

Oui, c'est-à-dire qu'on peut dire que la physique fournit un modèle et que les mathématiques vous permettent de prédire à l'aide du modèle ce qui doit se passer. Voilà, j'espère que ça éclaire.

Oui, c'est prédire et comprendre. Prédire et comprendre. Parce que la prédiction présuppose, vous le montrez très bien dans l'équation personnelle, la compréhension radicale des phénomènes.

Exact, oui, de toute façon. Comprendre, c'est la démarche des mathématiques. C'est toute la démarche des mathématiques.

Et alors, justement, on voit comment on a un certain nombre de lois, les lois d'émergence, par exemple, comment se forment les vortex, donc les tourbillons. Ça, c'est quelque chose que vous avez réussi à modéliser.

Oui, et à décrire mathématiquement. C'est-à-dire, pas seulement à modéliser, c'est vraiment le rôle du physicien, mais à analyser, à démontrer, à dériver. C'est ce que fait le mathématicien. Donc, on aboutit à des sortes de lois effectives, en fait. C'est ça, le but est de partir d'un modèle qui peut être un peu complexe, bien que concis, mais d'en dériver des lois essentielles.

On va continuer à évoquer cela, Sylvia Serfati. Des équations personnelles, c'est votre livre paru chez Flammarion. Vous entrez aujourd'hui à l'Académie des sciences et vous serez rejointe par Amori Hayat, qui est professeure à l'École nationale des ponts et chaussées. Et on va évoquer un autre aspect des mathématiques, avec aujourd'hui, là aussi, un bouleversement qui vous concerne et qui nous concerne tous, celui de l'intelligence artificielle. Qu'est-ce que ça signifie aujourd'hui ? Faire des maths alors que l'intelligence artificielle existe ? Réponse dans 20 minutes, 8 heures sur France Culture.

6h30, 9h, les matins de France Culture. Guillaume Erner.

Et nos invités, nos invités, la mathématicienne Sylvia Serfati. Des équations personnelles, c'est le livre que vous publiez chez Flammarion. Et aujourd'hui même, vous rentrez à l'Académie des sciences. Et alors, le cadmium n'est pas supraconducteur. Moi, je pensais que tout métal dans des conditions de température devenait supraconducteur.

Non, je pense que c'est seulement certains alliages.

Certains alliages seulement. En tout cas, on peut le savoir grâce à l'intelligence artificielle aujourd'hui. Amori Ayat, vous êtes professeur à l'École nationale des ponts et chaussées, porteur de la chaire Descartes de l'Institut Polytechnique de Paris. Et je vous ai invité, puisqu'on évoque l'intelligence artificielle sur tous les métiers. Celle-ci provoque de nombreux bouleversements. Elle provoque aussi des bouleversements en maths. Lesquels ? Expliquez-nous.

Alors, depuis quelques années, on s'aperçoit que l'IA commence à savoir faire des mathématiques. Et aujourd'hui, on est dans un monde où l'IA sait si bien faire des mathématiques que, pour prouver des théorèmes, par exemple, elle commence à savoir rivaliser avec la capacité humaine. Ça, évidemment, ça change beaucoup notre métier.

Mais alors, justement, ça le change comment ? Parce qu'on a du mal à comprendre, en fait, comment les maths peuvent faire de l'IA, alors que, lorsqu'on lit Sylvia Cerfati, par exemple, on se dit qu'une mathématicienne, ça a des intuitions, ça a une manière très abstraite de voir les choses.

Alors, tout à fait. Cette part d'IA pour les mathématiques, ça a commencé en deux branches. Une première qui consistait à entraîner des modèles d'IA à avoir des intuitions mathématiques. Et finalement, il y a une raison derrière. C'est-à-dire qu'il consiste à se dire que quand un mathématicien voit un nouveau problème qu'il n'a jamais vu et utilise cette sorte d'intuition, dans un certain nombre de cas, ça ressemble un peu à une sorte de pattern matching, quelque chose dont on sait que c'est une tâche que les IA font très bien. Et puis, depuis, se sont développées beaucoup de méthodes pour savoir avoir des preuves mathématiques avec des IA.

Et celles-ci ont beaucoup évolué ces dernières années.

Par exemple, donnez-nous des exemples de ce que vous avez fait dans ce domaine.

Alors, moi, un exemple qui m'a beaucoup marqué d'il y a quelques semaines, c'est qu'il y a quelques semaines, avec un système d'IA qu'on a démontré, je lui ai donné un problème que je n'avais pas su résoudre en thèse. J'avais arrêté au bout de deux semaines parce que vraiment, je ne trouvais rien. Et l'IA a trouvé la réponse. Et en voyant la réponse, je sais que j'aurais été incapable de résoudre ça quand j'étais en thèse. Ça, ça m'intéresse. Pourquoi vous auriez été incapable ? Parce qu'il y a des arguments dans la preuve qui dépassent ce que je connaissais à l'époque et qui viennent d'autres domaines. C'est-à-dire que c'était un niveau de connaissance ?

C'était un niveau de connaissance que je n'avais pas à l'époque et que je n'aurais pas acquis pendant ces deux années-là. Mais pas un niveau de compréhension ? Pas un niveau de compréhension, non, probablement pas.

Bon, mais alors, un niveau de connaissance, c'est moins grave qu'un niveau de compréhension ?

Oui, non. C'est-à-dire que c'est quand même souvent plus facile de comprendre une preuve une fois qu'on nous la donne que de la trouver à l'avance.

Certes, mais si l'intelligence artificielle sert simplement à évoquer ou plutôt à mobiliser des connaissances que vous n'avez pas, c'est plus un statut de bibliothèque qu'un statut d'être pensant et réfléchissant ?

Alors, il y a deux choses. Il y a réussir à mobiliser des connaissances qu'on n'a pas et puis savoir qu'elles sont pertinentes dans ce cas-là. Et c'est le deuxième point qui est vraiment dur.

Sylvia Cerfati, est-ce que vous utilisez l'IA aujourd'hui ?

Un petit peu, mais je ne suis pas celle qui suit le plus en pointe dans son utilisation. En tout cas, pour moi, c'est une sorte de tsunami qui nous arrive et pour lequel les collègues sont restés pendant un certain temps dans le déni, je dirais. Mais là, ça devient de moins en moins possible. Donc, quand j'ai écrit le livre à dire vrai, il me paraissait impossible de faire l'impasse sur le sujet parce que c'était vraiment ce qui arrivait. Et j'ai même dû réécrire le chapitre sur l'IA trois fois à dire vrai parce que les choses avançaient tellement vite que tout devenait rapidement périmé.

Mais là, ce qui se passe, c'est qu'on arrive vraiment au point où, pour la première fois, par exemple, il y a deux semaines, un article est sorti. OpenAI a annoncé avoir résolu une conjecture en géométrie métrique qui avait résisté pendant longtemps. Et les meilleurs spécialistes ont dit que cette preuve-là, si elle avait été écrite par un humain, mériterait d'être publiée dans la meilleure revue de mathématiques. Et c'est la première fois que, je dirais, qu'on dit ça. Donc, que l'IA a en plus introduit une idée vraiment originale, considérée comme originale.

C'est-à-dire qu'elle est très bonne, comme le disait Amaury, pour aller chercher quelque chose ailleurs et le mettre en lien avec le problème. Et là, elle a donné une nouvelle idée d'utiliser un corps de nombre différent pour résoudre un problème de géométrie métrique. Les spécialistes disent même, cette idée-là va nous servir, elle va nous être utile. C'est-à-dire qu'on apprend de l'IA. C'est assez stupéfiant.

Mais à la fois, dans Équation personnelle, votre livre publié aux éditions Flammarion, vous dites que la notion de preuve en mathématiques est une notion qui ne se laisse pas facilement approcher, que ce n'est pas quelque chose que l'IA va pouvoir apporter de manière évidente.

C'est-à-dire que jusqu'à présent, l'IA qui fonctionnait sur la base des LLM fonctionnait par recherche de...

LLM, ce sont donc les grands modèles de langage.

Il cherche en fait à prédire ce qui est le plus vraisemblable. Ça, c'est pour simplifier. Donc, il vous donne ce qui ressemble le plus aux preuves qu'il a déjà apprises. Mais maintenant, dans les IA, il y a des ingrédients en plus. C'est-à-dire qu'il y a des ingrédients de raisonnement, de calcul symbolique qui ont été rajoutés. Et en plus, arrive aussi la formalisation des preuves à l'aide des langages de programmation fonctionnelle qui permettent de vérifier qu'une preuve est juste en la compilant comme un programme informatique.

Bon, parce qu'il faut rappeler, on le dit, mais on ne le dit peut-être pas assez, à Moriaïat, c'est que bien souvent, l'IA fonctionne encore très largement comme une boîte noire.

Alors, l'IA fonctionne effectivement comme une boîte noire. Mais comme le disait Sylvia, la façon d'entraîner ces IA a beaucoup changé ces dernières années. On a commencé de prédire le mot suivant le plus probable, essentiellement, à entraîner des IA, à se poser des questions et à réfléchir. Et c'est le gros changement qui a eu lieu à partir de 2024.

Oui. Et donc là, on est dans une situation où effectivement, des choses qu'on pensait relativement impensables sont possibles. Vous savez, il y a une vidéo qui circule sur Internet. Je ne sais pas si vous l'avez vue. Elle date de 2014. C'est cinq très grands mathématiciens qui reçoivent le Breakthrough Prize, un prix très prestigieux. Et on les interview, on leur demande, est-ce que vous pensez que de votre vivant, vous verrez un ordinateur être capable de démontrer des maths que vous ne savez pas faire ? Et ils ont tous éclaté de rire. Tous. Sauf un, Maxime Koncevitch, qui a dit « Non, en fait, je pense que c'est possible. Ce n'est pas si difficile.

Le problème n'est finalement pas si difficile. Les autres ont ricané. » Donc vous voyez que même les meilleurs mathématiciens peuvent se tromper complètement sur l'avenir.

Mais vous racontez dans votre livre « Équations personnelles » que vous riez beaucoup avec vos collègues mathématiciens au sujet de Tchadipiti, de la manière dont les étudiants l'utilisaient.

Oui, on riait des réponses de Tchadipiti en 2023. La réalité, c'est que Tchadipiti de 2026 est bien, bien meilleur que celui de 2023. Alors, est-ce qu'on peut continuer à extrapoler jusqu'à dire qu'il sera meilleur que nous ? Et la question, là, je pense, n'est pas si simple. Parce que la question qui se pose maintenant, c'est de savoir si l'IA va être capable, par exemple, d'introduire un nouveau concept de pensée hors du cadre existant. Est-ce que l'IA serait capable d'inventer les nombres complexes, par exemple, quand on a cherché à résoudre les équations quadratiques, on sait qu'il n'y a pas de solution pour certaines équations. Ah, on sort du cadre, on introduit I.

Et là, tout d'un coup, il y a une solution. Ce qui, pour l'instant, n'est jamais arrivé. Et donc, pour l'instant, c'est jamais arrivé. Mais cette preuve d'il y a deux semaines commence à nous dire que, peut-être, je ne sais pas, par exemple, là, en tout cas, il y a une nouvelle idée de concepts qu'on peut utiliser dans certaines preuves.

C'est-à-dire trouver de nouveaux objets mathématiques au travers de l'IA, Moria Yant ?

Oui, tout à fait. Alors, pour l'instant, c'est vrai que c'est encore une des grandes difficultés. Ce qui est probable, c'est qu'à court terme, ces IA deviennent meilleures dans un certain nombre de domaines que beaucoup de mathématiciens approuvent des théorèmes, et découvrent de nouvelles idées pour démontrer des preuves. De là à développer de nouvelles théories, il y a une marge. Il y a un certain nombre de gens qui travaillent dessus, mais pour entraîner l'IA, vous savez, c'est bien d'avoir un objectif assez clair. Une preuve qui est juste, c'est un objectif clair.

Découvrir un objet mathématique intéressant, ça nécessite de savoir ce qu'on veut dire par intéressant, et côté machine learning, c'est là que butent beaucoup les gens. Donc, les techniques d'apprentissage pour ça commencent à être développées, mais ça, c'est vrai qu'il y a encore des verrous scientifiques, c'est pas encore complètement clair comment ça va fonctionner.

Justement, c'est intéressant, parce que toujours sur le rire, alors, Grotendik, Alexandre Grotendik, grand mathématicien, il y a une merveilleuse grande traversée sur Grotendik, et nous avons souvent parlé tous deux de Grotendik, Sylvia Cerfati, lui voulait des structures mathématiques si profondes que la vérité tomberait d'elle-même. Alors, transposé dans notre monde à nous, si Grotendik revenait, qu'est-ce qu'il penserait de l'IA, qui a un fonctionnement quasiment inverse ?

Je pense qu'il se sentirait assez orthogonal à l'IA. C'est-à-dire que Grotendik, il me semble, d'ailleurs évoque des façons de faire des mathématiques qu'il appelle d'ailleurs assez yin et yang, c'est-à-dire féminin et masculin. L'une qui est dans la performance, dans la recherche de la difficulté, donc la représentation plus masculine, et qui ne l'impressionne pas beaucoup, en fait. Et lui, il est plutôt pour la fécondité, l'importance des concepts, d'introduire de nouveaux concepts.

Parce que, alors, ce que j'ai compris de Grotendik, et évidemment, c'est à vous de me dire ce qu'il en est, Sylvia Cerfati, c'est que son idée en mathématiques, c'est qu'il y avait un certain niveau de généralité auquel, lorsqu'on accédait, on faisait tomber les problèmes mathématiques. Suzanne Monteau, De Gaulle disait ça sur d'autres choses, d'ailleurs.

C'est vrai, c'est tout à fait son point de vue, oui. Il parlait d'une mère qui submerge le problème et qui, à la fin, le dissout, un peu comme la coque de noix s'ouvrirait toute seule parce qu'elle s'est tellement ramollie.

Alors, de façon amusante... Amori Hayat, l'intelligence artificielle, ça fonctionne à l'inverse. Ça ne monte pas en généralité.

Alors ça, ce n'est pas si simple à dire que ça, je pense. Il y a quand même beaucoup de gens en machine learning qui, justement, utilisent exactement cette citation de Grotendik en disant que c'est leur prochain objectif.

Que ce soit leur prochain objectif, ça, je comprends. Mais, tant mieux, d'ailleurs.

À l'heure actuelle, effectivement, ce n'est pas ce qui monte le plus en généralité. Alors, ceci dit, parfois, c'est capable de reconnaître que des outils mathématiques existants sont, en fait, une montée en généralité de ce qu'on est en train de faire et on ne l'avait pas vu avant et les humains ne l'avaient pas vu avant.

Mais, je crois que vous avez lu quelques pages de Grotendik avant de venir, justement, il y a Amori Hayat, quelque chose de très différent entre le génie mathématique absolu qui est incarné par cet homme

et la manière dont les modèles fonctionnent. Alors, la manière dont les modèles fonctionnent, ça, ça ne m'a pas l'air si clair que ça. Parce qu'aujourd'hui, la manière dont les modèles fonctionnent, ce n'est pas qu'ils essayent juste de prédire le prochain mot le plus probable, ils essayent... Non, non, ça, on sait que ça, c'était la préhistoire. Voilà, c'était la préhistoire. C'était 2023. Aujourd'hui, ces modèles fonctionnent un peu différemment. Ce n'est pas complètement clair pour moi qu'ils fonctionnent si différemment de ce que les humains font.

Ce qui est sûr, c'est qu'aujourd'hui, la façon dont ils font ce qui se passe, ce qu'ils arrivent à produire, est très, très loin de ce que faisait Grotendik. Je pense qu'on serait peut-être un peu présomptueux de penser que ce genre de modèle d'IA n'arrivera jamais à atteindre le niveau de Grotendik.

Alors, ça, c'est une question que Grotendik se posait, mais que Paul Valéry se posait. Qu'est-ce que mon cerveau fait quand il fait des mathématiques ? Et l'une des réponses que donnait Valéry à cela, justement, c'était le fait de se laisser déporter, d'errer dans des domaines très lointains. Ce que vous expliquez, d'ailleurs, dans l'équation personnelle, Sylvia Cerfati.

Oui, tout à fait. C'est-à-dire que la découverte en mathématiques comporte une part de rêverie, en fait. Effectivement, on laisse certaines idées décanter, puis on ne sait pas pourquoi, un jour, plus tard, l'idée remonte, nous appelle, une image apparaît. Donc, on utilise d'une manière ou d'une autre, en fait, notre expérience sensorielle, sans savoir, d'une manière intérieure. Et effectivement, les IA n'ont pas de sens, donc elles fonctionnent différemment.

Vous vous souvenez de la manière dont vous avez trouvé certaines choses en mathématiques ? Qu'est-ce que vous faisiez quand vous avez eu certaines idées ?

Oui, tout à fait. Souvent, j'essayais de m'endormir. Et en fait, au lieu de s'endormir, les idées tournent et vous revenez sur certaines réflexions que vous êtes faites dans la journée et hop, ça clique. Par exemple, vous pouvez nous raconter une histoire ? Une fois, en surveillant un examen.

Vous vous endormiez. C'est une bonne chose à dire à vos étudiants.

Non, mais je rêve assez et puis tout d'un coup, il m'est apparu que la quantité que je cherchais, enfin la preuve que je cherchais, en fait, c'était une quantité que j'avais déjà utilisée plein de fois mais pour un autre problème et que c'était celle-là qu'il fallait utiliser. Je ne sais pas comment vous dire, c'est des moments eureka, c'est comme des illuminations, ça connecte tout seul dans le cerveau, on ne sait pas exactement comment.

Et vous ? Tout à fait, ça m'est déjà arrivé comme ça. En fait, plus exactement, je crois que le premier état, j'étais vraiment très content, l'idée m'est venue quand justement j'essayais d'arrêter de penser aux maths. Je me disais vraiment il faut que je déconnecte, il faut que je déconnecte, il faut que je déconnecte et en fait, je n'arrivais plus à arrêter d'y penser et heureusement, ça valait le coup.

Par exemple, Grotendik, lui, il utilisait une version inverse, il montait en généralité en utilisant le langage naturel et c'est ce qui lui permettait, disait-il, d'avancer en mathématiques, Sylvia Cerfati.

Oui, alors Grotendik, d'ailleurs, dit toujours que finalement ses idées, c'était les plus bêta du monde. Il les décrit toujours comme des choses très simples, tellement évidentes que personne n'avait même osé parler de telles choses tellement ça paraissait bête. Donc, il y a vraiment quelque chose de très intuitif dans son approche. Alors, pour lui, c'était facile et pas forcément pour tout le monde.

Avant, il y a Yat. Non, je suis tout à fait d'accord avec ce que vient de dire Sylvia. Alors, quelque part, quand même, monter en généralité, c'est parfois se poser un peu la question, d'accord, mais qu'est-ce que je n'ai pas vu qui est vrai de plus haut ? Qu'est-ce qui explique tout ça ? Quelle est la structure qui fait que finalement, c'est assez naturel ?

Oui, il y a un point. D'ailleurs, je pense intéressant, là, c'est qu'en tant qu'humain, on a des angles morts dans notre pensée. C'est-à-dire que souvent, on ne voit pas la solution à un problème parce qu'on ne regarde pas du bon côté. Et là où c'est troublant, c'est que parfois, l'IA, elle, elle est capable de ne pas avoir ces angles morts et de nous emmener à l'endroit où on n'avait justement pas regardé.

Vous avez des amis aussi. Et les amis sont là généralement pour vous rappeler qu'il y a des angles morts vers lesquels vous devriez regarder ?

Oui, bien sûr, mais parfois, vous savez, on est sur des problèmes tellement pointus qu'on n'est que quelques-uns dans le monde à vraiment comprendre le problème.

C'est ce qui est le cas dans votre cas ?

Oui, tout à fait.

C'est-à-dire que vous n'avez plus beaucoup d'interlocuteurs ?

On en a quelques-uns, mais ça se compte sur les doigts des deux mains.

Vos étudiants ?

Mes étudiants en thèse, tout à fait.

Ça, ce sont des interlocuteurs.

Oui, des interlocuteurs formidables. D'ailleurs, ils vous font des retours très précieux. Mais l'IA, ce qu'elle a d'exceptionnel, c'est un petit peu comme si vous ramassiez tous vos collègues, tous les collègues du monde entier, ils sont à votre disposition. Vous pouvez leur poser des questions et avoir des réponses, avoir un cours, un tutoriel sur ce que vous voulez.

Oui, tout à fait. Il y a aussi, à mon avis, deux points. Le premier, c'est que comme il y a des écoles de pensée un peu communes aussi en mathématiques, quand on est peu d'interlocuteurs sur le même sujet, il est possible qu'il y ait un effet de cluster. On a tous une vision un peu dans la même direction et c'est bien d'avoir quelque chose qui nous fait regarder dans une autre direction. L'autre point, c'est que c'est important de se dire que les mathématiciens ne travaillent pas seulement dans leur coin et collaborent entre eux.

Et c'est vrai que quand on arrive avec des IA qui ne sont pour l'instant pas du niveau complètement des mathématiciens mais qui peuvent travailler à 30 000 sur le coup et lire 200 papiers en 20 minutes chacune et tenir les autres en live au courant de ce qui se passe, pour des humains, c'est du rebattre en face.

C'est la force brute, c'est la force brute du calcul.

Alors ça, justement, la force brute, tout ça, parce que ça fait tomber aussi une forme de romantisme qu'il y a par exemple toujours chez Grotendik. Il expliquait que la relation qu'il avait avec ces questions était une forme de relation amoureuse.

Tout à fait, oui.

Et qu'il avait un rapport quasiment sensuel aux énigmes mathématiques qu'il cherchait à résoudre.

Oui, oui. Pour lui, la connaissance part du désir et la compréhension et la connaissance se font en avançant dans le sujet effectivement d'une manière qui, pour lui, doit être assez sensuelle. On a effectivement cette expérience en tant qu'humain de ce rapport à la vérité, à la recherche. Qu'est-ce que, exactement, ce que j'ai essayé d'écrire dans le livre parce que, pour moi, c'est très personnel et c'est quelque chose qui, peut-être, va maintenant, en partie, partir au musée. Donc, c'est vertigineux, quand même, pour nous. Je suis d'accord avec vous.

C'est vertigineux et puis, par ailleurs, c'est très triste à Mori Ayat parce que, justement, quand on travaille dans une discipline, quelle qu'elle soit, d'ailleurs, que ce soit, je n'en sais rien, la philo, la sociologie ou alors les sciences dures, il y a un moment où les choses vous résistent et c'est quand vous entrez dans le dur que vous devez, justement, être le meilleur de vous-même pour réussir à comprendre de quoi on vous parle, de quoi il s'agit. Et si vous utilisez l'intelligence artificielle, on a peur que toutes ces difficultés s'aplanissent avant même que l'on se soit confronté à la difficulté des problèmes.

Alors, tout à fait. Je pense que pour les mathématiques en globalité, c'est probablement plutôt une bonne chose, ça peut faire avancer les mathématiques plus vite. Pour notre pratique personnelle des mathématiques, il y a certains points très sympas qu'on aimait bien faire qui risquent de disparaître ou au moins d'être sous-représentés. C'est peut-être un peu compensé par le fait qu'il y a aussi pas mal de tâches un peu pénibles.

Par exemple, devoir démontrer un lème dont tout le monde sait qu'il est vrai et tout le monde sait comment le démontrer mais il faut quand même le faire, ça prend douze pages et ça va prendre trois semaines qui vont aussi disparaître et ça, peut-être que c'est pas plus mal.

Mais effectivement, il y a une crainte pour moi d'une possibilité de paresse intellectuelle et surtout chez ceux qui ne sont pas les plus pointus, ils vont directement aller demander à l'IA et si on prend ce pli, on arrête de faire fonctionner notre gymnastique mentale qui est très importante à mon avis dans la compréhension des choses, c'est-à-dire qu'il faut faire les mouvements intellectuels soi-même régulièrement. Donc, ce sera un petit peu comme les gens qui continuent à faire du sport alors qu'il y a des voitures. Il faudra continuer à rester vif intellectuellement malgré l'IA et donc, je pense que ça va creuser les écarts en réalité.

Si vous voulez, pour reprendre une autre métaphore, pour moi, c'est la question du vélo électrique. Une fois que vous avez utilisé un vélo électrique, c'est extrêmement difficile de comprendre qu'il faut revenir à un vélo musculaire et l'IA, ça fonctionne un peu comme ça.

C'est vrai, mais c'est très important ce que dit Sylvia parce qu'il faut encore avoir appris à faire du vélo avant. Et je pense que sur les questions d'éducation, au collège, au lycée, à l'université, ce sont des choses auxquelles il va falloir faire très attention pour vérifier que les gens savent encore réfléchir quelque part derrière, au moins sur ces questions-là.

Vous veillez à ça avec vos thésards, Sylvia Cerfati ?

Oui, et en même temps, je les encourage à expérimenter parce que je pense que c'est quand même la direction, le sens de l'histoire. Donc, parfois, je leur dis va essayer avec une IA, telle chose. Mais je pense qu'effectivement, il faut savoir déléguer certaines choses à l'IA et continuer à réfléchir surtout sur la grande échelle. C'est-à-dire qu'on pense que maintenant, ça va être plus une mathématique des programmes qu'une mathématique de l'accomplissement technique. Donc, nos critères d'évaluation vont changer. Il va y avoir une prime aux idées plus qu'à la difficulté technique.

Encore, faut-il savoir quel programme, justement, il faut mobiliser.

Oui, voilà, donc à chacun de développer son programme, sa vision.

Un mot de conclusion à Moria Yat.

On vit des temps très intéressants et à la fois vertigineux pour les mathématiciens et j'ai hâte de voir comment sera en 2029. On s'est dit que 2023, les IA n'étaient pas incroyables. 2026, elles sont très fortes. Moi, j'attends de voir trois ans de plus pour voir ce qui se passe.

Sauf que le rythme peut peut-être s'accélérer. C'est ça qu'on redoute.

Le rythme peut s'accélérer. Il peut aussi ralentir le jour où les entreprises de la tech auront décidé que finalement, savoir faire des maths, c'est plus tant montrer que mon IA est meilleure que celle du voisin. On verra ce que ça donne.

Amori Hayat, professeur à l'École nationale des ponts et chaussées, porteur de la chaire Descartes de l'Institut Polytechnique de Paris et puis Sylvia Serfati. Donc, je recommande chaudement des équations personnelles. C'est aux éditions Flammarion. Et puis, félicitations encore pour votre entrée à l'Académie des sciences. C'était notre manière à nous de la célébrer. Et c'est aujourd'hui. Donc, vous aurez un beau costume. On espère vous voir avec dans quelques instants nos camarades François Saltiel, Lucille Comeau et puis le journal d'Anne-Laure-Chouin.