Comment faire aimer les mathématiques ? Entretien avec Hugo Duminil-Copin, médaille Fields 2022

Les Matins de France Culture. Guillaume Erner. Bonjour Hugo Dumini-le-Copin. Bonjour. Je suis très heureux de vous recevoir. Nous étions parlé en 2022, lorsque vous aviez obtenu cette médaille Fields, autrement dit la plus grande distinction en mathématiques. Vous êtes professeur à l'Université de Genève et à l'Institut des Hautes Études Scientifiques. En fait, il y a deux moments pour vous inviter. Alors, on peut vous inviter pour prendre un petit déjeuner, parce que vous avez travaillé sur la percolation. Et on peut vous inviter également au moment de l'apéro, parce que vous avez travaillé sur la manière dont la glace prend.

Vous êtes probabiliste, vous travaillez à la frontière de la physique statistique. Mais alors, il faut que vous m'expliquiez en quoi, justement, un mathématicien peut travailler sur la percolation avec la question, en fait, de la transition. La transition, chez vous, c'est la manière dont les états de la matière peuvent changer.

Oui, en fait, l'idée, c'est que les systèmes de la nature qui nous entourent, et en particulier le café, la glace, un aimant, etc., sont des systèmes très complexes. Il y a énormément de molécules, énormément d'éléments, etc. Donc, on utilise en mathématiques le hasard, la théorie des probabilités, pour essayer de simplifier, en quelque sorte, le hasard et votre ami, non pas votre ennemi. Essayer de simplifier le comportement pour regarder le comportement typique de ces objets, plutôt que tous les comportements possibles.

Et donc, grâce à la théorie des probabilités, on peut comprendre pourquoi ces objets, quand on change la température, ou quand on change le tassement des grains de café, etc., comment ils peuvent changer de comportement à travers ce qu'on appelle, ce que vous avez appelé, une transition de phase. Donc, c'est ce que je fais dans la vie.

Justement, vous distinguez un certain nombre de catégories mentales, la nature de la transition, la symétrie au point critique, parce qu'il y a des questions de symétrie à chaque fois dans ces phénomènes qui sont à la fois des phénomènes mathématiques, physiques, géométriques. Qu'est-ce que ça veut dire dans votre tête de matheux ?

Une chose qui est importante de voir, c'est que les scientifiques en général, et les mathématiciens et les mathématiciennes en particulier, on aime beaucoup les symétries. Pourquoi ? Parce que plus un objet est symétrique, plus il est simple. Je pense que tout le monde a en tête ses enfants qui jouent à essayer de mettre des formes dans des trous. Quelle est la forme qui marche le mieux ? La forme que tous les enfants arrivent à faire en premier ? C'est la boule. Pourquoi ? Parce que quelle que soit la façon dont vous la mettez dans le disque, ça passera, c'est plus symétrique.

Et donc les mathématiciens et les mathématiciennes sont en quête de symétrie, parce que plus ils trouveront de symétrie dans un problème, plus ils seront capables de le comprendre efficacement.

Vous écrivez de l'autre côté du tableau noir, les mathématiques à visage humain, c'est le livre que vous publiez aux éditions du Seuil. C'est un livre à quatre mains, vous l'avez écrit avec un psychologue, Emmanuel Sander. Alors, c'est un livre extrêmement accessible, je le précise aux auditeurs. Mais il y a quand même une équation, on la trouve page 20. Cette équation, c'est une équation des structures en nid d'abeille. Et alors, c'est une équation assez trapue. Moi, j'ai réussi à la lire grâce à l'intelligence artificielle qui permet, donc effectivement, de décrypter des choses trop complexes pour les néophytes.

Mais alors, ce qui est fabuleux, c'est qu'on voit un exemple de mise en équation d'une symétrie existant dans la nature.

Oui, en fait, on a mis cette équation, non pas, c'est quasiment la seule équation du livre. Et j'ai voulu l'inclure parce qu'on s'est rendu compte avec Emmanuel Sander. Donc, je travaille sur ces réseaux en nid d'abeilles et tout le monde a une image de ce que c'est qu'un réseau en nid d'abeilles. Vous pensez juste à une ruche. Bien sûr. Voilà. Et je travaille sur ces objets au quotidien. Je ne m'étais jamais posé la question, quelle est l'équation qui décrit cet objet ? Je ne me l'étais pas posé. C'est Emmanuel qui me l'a posé. Il m'a dit, mais c'est quoi l'équation qui correspond ? Donc, j'ai pu la retrouver, mais j'ai dû réfléchir un petit peu.

Et c'était pour illustrer qu'il y a une très grande différence entre l'image que les gens ont des mathématiques et l'image de formule, de symbole complexe, etc. Et ce qui se passe dans la tête des gens quand ils font des mathématiques, même au plus haut niveau. C'est-à-dire que moi, dans ma tête, je manipule l'image mentale. Je ne manipule pas cette équation. Donc, elle est là. Elle est volontairement complexe. Elle l'était même pour moi. Elle est complexe parce que la réalité impose sa complexité. Pour le lecteur et la lectrice, ce n'est pas une équation qui, au fond, est si complexe que ça par les standards mathématiques.

Dans ce livre, elle vient surprendre parce qu'elle arrive au milieu de choses qui ne sont pas formelles, qui ne sont pas formalisées. Mais on a voulu la mettre justement pour mettre en valeur cette distinction entre le formel et ce qu'on appelle l'incarné, qui est ces mathématiques qui prennent vie dans votre esprit.

Bon, mais à la fois, cette équation, elle plonge dans des abîmes de perplexité, tout simplement parce que lorsqu'on se rend compte qu'il s'agit d'une structure naturelle, c'est-à-dire qu'on pense à une ruche, évidemment, comme vous l'avez dit, eh bien, on se dit qu'on ne sait pas ce qui est premier, les mathématiques ou la nature. Et on se demande si les abeilles connaissent les maths.

Non, c'est une question qui est profonde. Les abeilles connaissent l'optimisation. Ça, c'est plutôt Darwin qui le dit. Donc, en fait, ces réseaux se retrouvent, les niches se retrouvent à être des réseaux en nid d'abeilles parce qu'en fait, ces réseaux ont des qualités optimales d'un certain point de vue. Il y avait d'ailleurs une très grande conjecture là-dessus qui a été démontrée relativement tardivement. Donc, c'est plutôt les mathématiques qui essayent de décrire ces objets et se rendre compte que, oui, il y a des structures optimales.

Et il se trouve que les abeilles indépendamment, par probablement des milliers, des millions, des milliards d'années d'évolution, des millions plutôt, je pense, ont transformé leur structure, leur habitat pour optimiser et trouver finalement la meilleure forme possible.

Alors, il y a quelque chose de particulier chez vous, c'est que vous êtes un immense mathématicien qui travaillait sur des sujets qui sont extrêmement simples à énoncer. Un glaçon, un café qui se fait par le biais d'un percolateur. Et vous êtes un mathématicien. Alors, j'ai envie de dire que vous êtes un mathématicien normal. Je crois qu'il y avait une sorte de notion de président normal.

Ce que je veux dire par mathématicien normal, c'est que lorsque l'on prend votre trajet, vous dites, et j'imagine que vous restituez la réalité, vous dites qu'en classe de première, vous n'étiez pas très bon en maths, vous étiez en queue de peloton et que le déclic s'est fait après, donc assez tardivement dans la représentation qu'on se fait d'un génie des maths.

Oui, je pense qu'on a tendance à stéréotyper un petit peu les personnes qui auraient des compétences en maths ou non. Ça répond à ce fameux stéréotype de la bosse des maths, etc. Or, la réalité est très différente. On apprend les mathématiques, on progresse en mathématiques. Et le progrès, finalement, c'est une compétence assez transversale. Moi, par exemple, j'ai l'impression d'avoir appris à progresser en sport. Je faisais beaucoup de sport de différents types quand j'étais jeune. Et en sport, finalement, la façon dont on progresse, le handball, l'escalade, le badminton, le ping, j'ai tout fait. Et la nage, la nage, on va en parler tout à l'heure de la natation.

Oui, la nage aussi, voilà, c'est ça. Et en sport, c'est assez clair que c'est comme en musique, on va s'exercer, on va faire des erreurs, essayer un geste des dizaines, des centaines de fois. Et puis, il y a un moment où ça clique, il y a un moment où on parvient à faire le bon mouvement. Et là, il y a ce sentiment que tout le monde ressent, que ce soit en musique, encore une fois, que ce soit en sport ou dans plein d'ailleurs de hobbies. Il y a ce moment de bonheur, de plaisir. Et ce qui s'est passé, c'est qu'en première, je me suis retrouvé en difficulté dans ma classe. Et c'était un peu la première fois.

Avant, je n'étais pas en difficulté en mathématiques, mais je me suis retrouvé en difficulté. Et donc, je me suis dit, il faut que je change ma méthode de travail. Et qu'est-ce que j'ai fait ? Je me suis dit, les mathématiques, ce n'est pas isolé du reste des compétences. C'est d'ailleurs ce qu'on décrit dans le livre. Les mathématiques reposent sur nos facultés psychologiques, sur nos émotions, sur notre sensibilité. Donc, ce que je vais faire, c'est que je vais importer ce que je sais faire d'un autre aspect de ma personnalité qui était le sport. Je vais importer cette méthode d'apprentissage et je vais l'utiliser pour les mathématiques. Et qu'est-ce qui s'est passé ?

Exactement la même chose que quand je faisais du sport. C'est-à-dire que j'ai essayé, j'ai essayé, j'ai réessayé. Je n'arrivais pas à résoudre les problèmes, etc. Puis, les méthodes, ce sont petit à petit. Mon intuition s'est affinée. Ma capacité d'abstraction a commencé à s'améliorer, etc. Et puis, j'ai commencé à pouvoir, à parvenir, à résoudre les problèmes. Et là, j'ai ressenti ces plaisirs intenses qu'on a dans tous les autres aspects de notre vie quand on finit par réussir. Et c'est ce qu'on voulait transmettre dans ce livre avec Emmanuel Sander. Emmanuel, lui, étant psychologue du développement, il avait, entre guillemets, les mots pour poser, pour décrire ce phénomène.

Et on s'est rendu compte que c'était un phénomène transversal, en fait.

Bon, mais c'est quand même très étonnant parce que, je ne sais pas, si vous aimez le cyclisme, par exemple, moi, je peux essayer de réfléchir à toutes les manières de pédaler comme Pogacar. À partir du moment où je ne suis pas Pogacar, je n'ai pas ses capacités physiques, je n'y arriverai pas. Et on a tendance à transposer ça en mathématiques, à se dire qu'il faut une capacité de formaliser, d'abstraction, que vous, vous avez, que d'autres, beaucoup d'autres n'ont pas.

Alors, vous savez faire du vélo. C'est de ça dont on parle, moi. L'objectif, pour moi, il est que les citoyens et les citoyennes aient des compétences de mathématiques pour pouvoir les soutenir au quotidien. Bien sûr qu'on ne va pas prétendre que tout le monde deviendra médaille Philz. Est-ce qu'il y aura même une médaille Philz dans quatre ans ? Ce n'est pas clair. Donc, ce qu'on dit, c'est bien sûr que si je m'étais mis à essayer de courir, je ne serais pas devenu Shane Bolt. C'est absolument évident. Il y a tout plein de choses qui participent au fait, pour les tout, tout meilleurs, qu'ils arrivent, ils parviennent là où ils sont.

Ce n'est pas une bosse des mains de toutes les choses comme ça, parce que, par exemple, je suis quelqu'un de très buté et ça m'aide énormément au niveau de mon travail, parce que j'insiste, j'insiste, je ne lâche jamais. Ma vision esthétique des mathématiques me soutient parce que certaines idées, je vais vouloir les laisser vivre parce que je les trouve belles, etc. C'est très multidimensionnel. Mais ce n'est pas ce dont on parle quand on parle de la maîtrise mathématique des gens. Tout le monde a ce qu'il faut pour faire des mathématiques. C'est un apprentissage comme les autres. Regardez un enfant de cinq ans qui est en train d'apprendre les nombres.

Vous vous rendez compte à quel point c'est dur de savoir ce qu'est neuf ou dix. Et pourtant, on sait tous ce qu'est neuf et dix en tant qu'adulte.

Alors, c'est en lisant ça, parce que vous prenez l'exemple d'une petite fille de six ans, Hugo Dumini, le copain. Je lisais donc votre livre hier et j'ai pris deux enfants échantillons représentatifs. Je leur ai demandé combien ça faisait. 20% de 40. Alors, l'une est en classe de quatrième, l'autre en classe de première. Le résultat a été une catastrophe. Qu'est-ce que ça veut dire ? Qu'est-ce que ça signifie pour vous ?

Ça montre en fait qu'il y a un blocage, je pense. C'est-à-dire que beaucoup de gens se retrouvent pétrifiés, tétanisés, dès qu'on identifie la question qu'on leur pose avec des mathématiques. Pourquoi ? Il y a plein de raisons. Déjà parce qu'on a tendance en mathématiques à se focaliser sur ce qu'on ne sait pas. On se souvient juste de ça. On oublie qu'on sait plein de choses. Il y a une invisibilisation, on l'a décrit dans le livre, une invisibilisation des compétences mathématiques. Le problème de cette invisibilisation, ce qui d'ailleurs est vrai dans tout type de compétences, on oublie ce qu'on sait, c'est qu'on perd confiance en ces facultés mathématiques.

Je suis sûr que ces deux enfants, s'ils avaient été posés tranquillement, qu'ils avaient eu le temps de réfléchir, qu'on avait dit, voilà, ne t'inquiète pas, c'est pas un test, etc., ils seraient parvenus à faire ce calcul.

Je me suis posé la question en prenant l'allégorie du bar californien. C'est l'une des allégories qu'on trouve dans votre livre, de l'autre côté du tableau noir, les mathématiques à visage humain. Alors, expliquez-nous en quoi ce bar californien pose un problème mathématique.

Par cette expérience, nous voulions expliquer avec mon co-auteur que le raisonnement mathématique ne se restreint pas de la logique. On a en tête que les mathématiques, c'est des calculs, c'est des raisonnements logiques, etc. Mais ça, c'est la fin de l'histoire. C'est finalement la photo que vous voyez, l'image que vous voyez en haut de la montagne. Mais vous, il faut que vous gravissiez cette montagne pour arriver au sommet. C'est-à-dire qu'il faut comprendre, mobiliser les bons concepts pour pouvoir répondre à la question. Et donc, on fait cet exemple, on donne cet exemple d'une énigme qui est d'abord une énigme qui est reliée à des vêtements et des individus qui est très absconce.

On ne comprend pas trop ce qui se passe. Et il y a une question sur cette énigme. Et ce qu'on a fait, c'est qu'on transpose cette même énigme. C'est le même problème mathématique, mais on le replace dans un cadre du bar californien que vous mentionnez. Où là, ce qui va se passer, c'est que certains concepts qui ont été construits dans la vie de tous les jours, par exemple, la permission sous condition, c'est-à-dire que vous avez le droit de faire quelque chose si certaines conditions sont remplies. Alors là, en l'occurrence, le droit de boire de l'alcool ou d'être dans un bar. Exactement, de boire de l'alcool si vous avez plus de 21 ans pour la Californie.

Et ce qu'on explique, c'est que ce concept non mathématique vient soutenir le raisonnement logique. Et c'est ça qu'il faut aller chercher. C'est ça qui se passe tout le temps, que ce soit pour le jeune enfant ou pour moi dans ma pratique journalière. Les concepts du quotidien viennent soutenir les concepts mathématiques. Et il faut donc se baser là-dessus pour apprendre.

Ah oui, mais c'est quand même plus compliqué que ça. Donc, en réalité, ce bar californien, il formalise l'expression, je crois que c'est une expression de Willis. Autrement dit, la manière dont on doit s'y prendre pour savoir si une carte paire, car normalement, au verso d'une carte paire, il y a une voyelle. Et donc, Willis prend quatre cartes et demande quelle est la méthode la plus efficiente pour savoir si cette règle est respectée ou pas. et je divulgache la manière dont Willis s'y prend sur le plan mathématique.

En fait, il dit qu'il faut aller non pas vers un biais de confirmation, mais vers un biais d'infirmation, ce qui relève de la philosophie popérienne, puisque les sciences, ça n'est pas être certain d'avoir raison, c'est d'être en possibilité d'être contredit. Hugo Dumini, le copain. Ça, par exemple, ce n'est pas si intuitif que ça. L'idée d'aller non pas pour confirmer si la règle est vraie, mais de voir si elle n'est pas infirmée.

Est-ce que c'est si peu intuitif que ça ? Moi, quand je vois ma fille de cinq ans en train d'apprendre, c'est ce qu'elle fait tout le temps. Elle va toujours vers les choses pour essayer de vérifier si c'est infirmé ou non. C'est la façon dont on apprend. C'est l'enfant nous montre en fait la voie et on a juste une tendance en tant qu'adulte de projeter plus tard dans la croissance de l'enfant notre fonction de fonctionner en tant qu'adulte. On perd cette tendance à tester, se tromper, infirmer, etc. C'est au contraire le mécanisme d'apprentissage par excellence et l'enfant a exactement ce mécanisme-là.

Il faut au contraire, c'est de le préserver pour qu'il continue tout au long de son éducation.

Hugo Duminil, copain de l'autre côté du tableau noir, Les mathématiques à visage humain, le livre que vous avez publié en compagnie d'Emmanuel Sander. On verra dans quelques instants comment justement on peut essayer de comprendre la manière dont un mathématicien pense, comment ceux-ci essayent de formaliser le réel, puisque je le rappelle, vos questions qui sont des questions à la fois physiques et probabilistes concernent des objets du réel. Le café qui est en train de couler dans vos tasses. 8h sur France Culture. Les matins de France Culture. Guillaume Erner. Je suis en compagnie d'une star des mathématiques, Hugo Duminil, copain. Vous êtes médaille Fields 2022.

Vous publiez avec un psychologue Emmanuel Sander de l'autre côté du tableau noir, Les mathématiques à visage humain aux éditions du Seuil. C'est la rentrée des classes. Il y a deux jours, justement, on en parlait. Le niveau des Français en mathématiques au CM2 a diminué de manière sensible. La question des programmes, qu'est-ce que ça vous inspire, Hugo Duminil, copain ?

Ça m'inspire une chose qui aurait pu être le titre, finalement, de ce livre. C'est que les mathématiques, c'est une science humaine. Bien sûr, c'est le langage des sciences dures, mais c'est aussi une science humaine au sens que c'est une étude de l'être humain, de sa façon de penser. Or, cette dimension des mathématiques, toute cette portion incarnée, ce qui se passe dans nos têtes et ce qui se passe surtout dans la tête de nos enfants quand ils apprennent des mathématiques, on en parle relativement peu, finalement. Et je milite pour qu'il y ait une forme de réveil, de se dire qu'est-ce qui permet l'apprentissage.

Parce que nos enseignants et nos enseignantes, en non-conscience, savent ce qu'il faut faire, mais les programmes sont souvent tellement chargés, les classes sont tellement chargées, que c'est très compliqué de mettre en œuvre ces mécanismes qui permettent l'apprentissage.

Bon, mais les programmes de maths sont assez trapus. C'est-à-dire poursuivre le programme de terminale avec l'option maths. Bon, il faut être assez trapu, alors qu'on se rend compte qu'un certain nombre de connaissances de base, telles que le calcul mental, ne sont pas maîtrisées.

Exactement, c'est ce que j'entends quand je discute avec des enseignants et des enseignantes, c'est qu'ils aimeraient avoir plus de temps pour se focaliser sur ces compétences transversales qui sont les réelles compétences mathématiques que nous, en tant que citoyens, que citoyennes, nous allons utiliser au quotidien. Et ces compétences transversales, pour les développer, que ce soit une aisance avec le calcul, que ce soit la représentation dans l'espace, une certaine capacité à suivre des raisonnements logiques, tout ça, ça va nous aider pour avoir un esprit critique, etc. Toutes ces compétences, il faut les construire, elles ne sont pas innées.

Oui, parce que c'est un vrai problème de citoyens, c'est-à-dire que, par exemple, maîtriser les pourcentages, vous donnez un exemple dans votre livre, si je dis 40% de vaccinés, vous expliquez que la formule,

elle doit être comprise. Oui, exactement, c'était au moment du Covid, il y avait des interprétations, finalement, à l'opposé de ce que disaient les chiffres, de certaines données qu'on donnait aux citoyens et aux citoyennes. Aujourd'hui... Donnez-nous un exemple. Là, dans le cas présent, c'était le fait que 40% des personnes qui étaient hospitalisées étaient vaccinées. Et donc, les gens en déduisaient, enfin, certaines personnes en déduisaient, que le vaccin n'était pas efficace. Or, ce qui se passe, c'est qu'une très, très large majorité de la population était vaccinée. Donc, c'est normal qu'on retrouve des vaccinés parmi les hospitalisés.

En fait, on en retrouvait beaucoup moins que ceux à quoi on devait s'attendre, et donc, le vaccin est efficace. Donc, on explique cet exemple comme un exemple où un biais cognitif, une espèce de réflexe mental, va nous mener dans une mauvaise direction et les mathématiques sont là pour... On ne peut jamais effacer un biais. Les biais cognitifs, c'est quelque chose de très bien. Ça nous aide à fonctionner efficacement et rapidement. Mais on peut les corriger ou les superviser par des compétences un peu plus rationnelles et en particulier, les mathématiques aident pour faire cela.

Mais alors, justement, c'est une question que je me suis posée en lisant votre livre parce qu'elle est au cœur de votre livre. Les mathématiques sont pleines de notions contre-intuitives. Les nombres négatifs, par exemple. Qu'est-ce que c'est qu'un nombre négatif ? Alors, on peut se le représenter, mais les nombres imaginaires, alors là, c'est encore plus compliqué. Est-ce que vous, mathématicien, vous vivez dans un monde contre-intuitif ?

Exactement. Mais nous vivons toutes et tous dans un monde contre-intuitif. En fait, c'est d'ailleurs la beauté des mathématiques, c'est de parvenir à dépasser nos intuitions premières. Les enfants, quand ils apprennent, ils arrivent avec des intuitions et ces intuitions leur permettent de faire cette chose. Par exemple, soustraire, c'est ôter. Or, si je vous dis, j'avais trois billes au début de la récré, je me replonge en enfance, j'en ai huit à la fin, combien j'en ai gagné ? C'est aussi une soustraction. C'est huit moins trois.

Pour un enfant, c'est discordant, ce n'est pas une intuition première de la soustraction et le cours de mathématiques va consister à lui offrir ses autres intuitions pour pouvoir enrichir son univers conceptuel.

La manière de formaliser le réel, par exemple, le café, On va faire toute l'émission sur le café puisque l'une des choses qui vous a valu la médaille Phil, ce sont vos théories de la percolation. J'avais lu que lorsque Einstein versait du lait dans son café, il essayait de formaliser le petit tourbillon de lait. Ça veut dire que Einstein avait une vision physique de la réalité, comme d'autres peuvent avoir une vision musicale de la réalité. Vous, vous avez une vision mathématique de la réalité, Hugo Dumini, le copain ?

Je ne crois pas à ces cloisons et d'ailleurs, Einstein a un très bon exemple qui s'était aussi un musicien hors pair. Je pense qu'on a une multitude de façons de voir le monde qui viennent se compléter et qui s'enrichissent mutuellement. Par exemple, dans mon cas, je suis absolument persuadé que mon rapport à mon corps, mon rapport à l'exercice physique, au toucher... L'être sportif. Voilà, exactement. Et quelque chose qui est fondamentale dans ma perception de ce qu'est le beau geste, de ce qu'est la belle idée. et je transpose ça en mathématiques. Donc, ce sont des choses qui se complètent.

Ce n'est pas, il y a les littéraires d'un côté, les scientifiques de l'autre, les sportifs d'un troisième. En fait, nous sommes tous multidimensionnels à ce niveau-là et il faut l'accueillir parce que c'est ce qui vous permet d'être... En tout cas, moi, j'en suis intimement persuadé. C'est ce qui me permet d'être un meilleur mathématicien. Beau geste, c'est important pour vous parce que le mauvais geste en escalade, ça fait mal. Exactement, oui. Parvenir à faire le bon geste, c'est un plaisir et ça finit par couler de source. Et c'est ce qu'on recherche en mathématiques et c'est ce que j'espère pour chacun de nos jeunes.

Quand on dépasse ce qu'on appelle dans le livre une appropriation, on va dire, superficielle. Quand on dépasse ça et que la chose devient vraiment intuitive, il y a un plaisir intense à avoir ce nouvel outil conceptuel

pour voir le monde. Bon, mais alors, on continue sur Einstein. La relation masse-énergie E égale, c'est en 1905. Alors, ce qui n'est pas du tout intuitif, cette relation, d'abord, lorsqu'on la lit, je ne parle pas de la trouver parce que là, c'est évident que ce n'est pas très intuitif, mais le fait de la comprendre déjà, ça n'est pas très intuitif et vous expliquez dans votre livre de l'autre côté du tableau noir qu'en fait, il faut la renverser et là, j'aimerais que vous nous expliquiez

pourquoi. Oui, on veut illustrer le fait que si je vous dis un troisième offert égale deux produits achetés, ça va vous sembler bizarre. Pourquoi ? Parce qu'en fait, dans l'imaginaire collectif, le égal a une intuition attachée à cela qui est l'idée qu'on part de choses, on fait une opération qui donne un produit. Or, le égal est quelque chose de tout à fait symétrique en mathématiques. Ça veut juste dire que les deux côtés de l'identité sont identiques. Et donc, on utilise, et c'est normal d'avoir une intuition que c'est plutôt, ça procède par une opération en quelque sorte presque.

Mais ce qu'on voulait montrer, c'est qu'à tous les niveaux, l'enfant, il a cette vision pas d'équivalence, mais plutôt de ça va me donner quelque chose. Eh bien, Einstein, il avait la même. parce qu'en fait, dans son premier article, celui de 1905, où apparaît cette équation, elle apparaît dans l'autre sens. Il dit, dans chaque, dans de l'énergie, il y a de la masse. C'est-à-dire, je pourrais calculer M comme E sur C carré. Et là, vous vous dites, il n'y a pas besoin d'être Einstein pour inverser les deux. Tout le monde sait que du coup, si M égale E sur C carré, je multiplie par C carré, j'inverse mon truc, ça me donne E égale MC2.

Il lui a fallu deux ans, en fait, pour faire ça, pour faire cette opération. Parce que dans sa tête, l'idée que, finalement, dans chaque élément de masse, il y a de l'énergie, c'était quelque chose de vertigineux. Ça demandait de repenser la masse. Et en fait, c'est cette identité-là qui est intéressante. Parce que quand vous dites masse égale énergie sur C carré, c'est la vitesse de la lumière est énorme. Donc, ça veut dire que dans même pas mal d'énergie, il y a très, très peu de masse. Donc, on se dit, ça ne sert à rien. Mais dans l'autre sens, ça veut dire que dans un tout petit peu de masse, il y a énormément d'énergie. C'est ce qui est, en fait, à la base de l'énergie nucléaire.

Hugo Dumigny, le copain, je l'ai dit, vous êtes un mathématicien normal. C'est-à-dire, vous vous présentez comme étant quelqu'un n'ayant pas la bosse des maths, etc. Et vous insistez beaucoup sur vos erreurs. Et alors, si on prend Einstein, les erreurs d'Einstein, autrement dit, sa représentation, son refus, par exemple, de la physique quantique, c'était lié à une vision très unificatrice de la physique. Il pensait qu'il y avait une théorie. Il y a beaucoup de scientifiques qui pensent qu'il y a une théorie globale. Est-ce que c'est votre cas aussi ?

Puisque finalement, vous, vous êtes sur des phénomènes probabilistes de formalisation de la physique avec une insistance, par exemple, sur les phénomènes symétriques.

Je pense que chaque scientifique a en lui ou en elle une volonté d'unification. On veut comprendre des phénomènes, on veut abstraire et voir quels sont les liens entre les différentes choses. Et d'un certain point de vue, dans le cas d'Einstein, c'est révélateur d'une chose qui est très importante, les analogies sont au cœur de notre livre. On essaie d'expliquer que l'analogie joue autant de rôles que la logique en mathématiques, voire plus. Et cette super analogie qu'avait Einstein, de voir cette sorte d'unité cosmique que tout devait se comporter de la même façon, c'est un petit peu ce qui explique son génie, sa capacité à trouver des liens que personne d'autre

ne voyait. Alors, et justement, en parlant de génie, en lisant votre livre de l'autre côté du tableau noir aux éditions du Seuil, j'ai énormément songé à Grotendik, vous en parlez. Grotendik est l'un des plus grands mathématiciens du XXe siècle et il y a une fabuleuse grande traversée que vous trouverez donc sur le site de France Culture et sur l'appli Radio France qui lui est consacrée. on va écouter un extrait de la voix et on va entendre la voix de Grotendik.

Mais c'est une chose que j'ai découverte avec stupéfaction parce qu'on n'en parle pas, parce que entre, disons, les élèves, entre mes élèves et moi, sans même que je m'en aperçoive, je pensais qu'il y avait des relations, disons, spontanées, égalitaires. En fait, c'était une illusion dans laquelle j'étais enfermé.

Il y avait relations hiérarchiques et les mathématiciens qui étaient mes élèves ou qui se considéraient comme moins bien situés que moi et qui ressentaient, disons, une alienation dans leur travail, eh bien, ils n'auraient absolument pas eu l'idée de m'en parler avant que, de mon propre mouvement, je quitte le ghetto scientifique dans lequel j'étais enfermé et j'essayais de parler avec des gens qui n'étaient pas de mon milieu, ce milieu de savants ésotériques qui faisaient de la haute mathématique.

La voix d'Alexandre Grotendik. Alors, Grotendik, il faisait de la géométrie chez Briggs, quasiment aux antipodes de ce que vous faites, mais il a un point commun avec vous, c'est qu'il était lui aussi, il a été accueilli, disons, par l'IHES.

Exactement, tous les deux professeurs à l'IHES, pas au même moment, mais effectivement, ça a été un des premiers professeurs de l'IHES. Et donc,

chez Grotendik, j'ai pris Récolte et Semaille, autrement dit, l'ouvrage de Grotendik, qui est un ouvrage absolument fascinant alors, c'est très difficile d'en parler parce que ça mélange à la fois des réflexions intimes, des réflexions mathématiques, etc. C'est énorme. Je vous cite un extrait de cet ouvrage. « Plutôt que de me laisser distraire par les consensus qui faisaient loi autour de moi sur ce qui est sérieux et ce qui ne l'est pas, j'ai fait confiance simplement, comme par le passé, à l'humble voix des choses et à ceux-là en moi qui s'est écouté, la récompense a été immédiate. » En fait, il explique comment il s'est dépris des consensus scientifiques, Alexandre Grotendik.

« Oui, il nous explique comment finalement écouter sa propre voix et tracer son propre chemin. Et je trouve que c'est la richesse de la science et d'ailleurs, à l'ère de l'IA, il y aura une question là-dessus. C'est la multitude des voix des scientifiques, la multitude des interprétations, des personnalités des scientifiques. Il est toujours important effectivement de ne pas simplement essayer d'ajouter une petite pierre à ce qu'on a déjà lu, à ce qu'on a déjà appris. Il est important aussi parfois d'oublier ce que l'on sait pour se s'écouter et se laisser vagabonder dans le monde parce que c'est une expérience qui m'est arrivée de très nombreuses fois.

La découverte vient souvent d'une rencontre fortuite, de quelque chose qui n'était pas... Donnez-nous un exemple. Par exemple, l'une des découvertes que nous décrivons dans le livre parce qu'il nous tenait à cœur de faire tout un chapitre où on décrirait les mécanismes psychologiques qui ont mené à une de mes découvertes. Je peux en parler puisque je l'ai vécu, c'était ça l'idée. Mais vraiment en se focalisant sur en particulier les analogies et les erreurs, etc. à tous ces mécanismes-là qui n'appartiennent pas à ce que les gens imaginent être le monde des mathématiques mais qui sont en fait le cœur.

Et dans ce chapitre, la fin, le moment Eureka qui vient en fait à la fin de toute une construction, c'est aussi d'ailleurs quelque chose d'important pour nous de montrer qu'un moment Eureka ne vient pas seul. On retient seulement ça mais il y a avant toute une élaboration en sous-marin et que ce moment Eureka en fait, c'est un moment où je ne pense pas spécialement à des mathématiques ou très peu. Je suis en train de nager à Fréjus sur la plage de mon enfance et là, se révèle le fait que je me trompe de problème depuis six mois. j'ai la bonne technique et je n'ai pas le bon problème.

Et d'un certain point de vue, si j'étais parti de façon très, très, très, je vais dire scolaire mais ce n'est pas le bon terme, on va dire très académique en me disant j'ai mon problème, je vais me focaliser sur ce problème et ne penser qu'à ce problème, je n'aurais jamais fait cet énorme détour de six mois qui m'a amené à penser à toute autre chose. D'ailleurs, la percolation, c'est à ce moment-là que je suis tombé amoureux de la percolation. Le problème original n'était pas de la percolation.

Oui, parce que je rappelle que vous avez formalisé des théories de la percolation, du grillage avec les questions de transition.

Exactement, je travaille en fait sur les fenêtres de porosité des matériaux au premier rang duquel faire du café ou effectivement la fonte des glaces. Et donc, pour revenir, ce détour en quelque sorte vers la percolation, je ne l'aurais pas fait si je ne m'étais pas laissé vagabonder. Donc, je pense que c'est ça que nous explique Grotendick, c'est parvenir aussi à regarder le monde avec, il utilise cette formule, des yeux d'enfant. Parce que les enfants ont cette compétence incroyable à se laisser vagabonder. Parce que c'est ça qui vous amène vers les plus belles découvertes.

Alors, il parle beaucoup aussi de yoga et il a même formalisé l'expression de yoga mental. Il en parle beaucoup dans Récolter Semaïe. Vous avez votre yoga. Alors, ça a été la nage sur cette plage de Fréjus.

Oui, parce qu'il faut un équilibre toujours. Si on pense trop à quelque chose, on va mobiliser par exemple trop son savoir, peut-être un peu moins ses intuitions. si au contraire, on est complètement, on ne les mobilise pas assez, ça ne marche pas non plus. Il faut un équilibre entre les deux et trouver cet équilibre passe par la marche, passe par d'autres choses. Beaucoup de mathématiciens et de mathématiciennes sont des marcheurs, on entend souvent ça. Pourquoi ? Parce que finalement, ça met dans cet effet, dans cet état presque d'auto-hypnose où l'équilibre entre intuition et compétence formelle est à son optimal.

Il y a quelque chose qui est en train de tout changer, Hugo Dumini le copain, c'est l'intelligence artificielle avec, on le sait désormais, des machines qui sont capables de faire des démonstrations sur lesquelles séchaient les mathématiciens. Moi-même. Donnez-nous un exemple, expliquez-nous qu'est-ce que ça veut dire et qu'est-ce que ça vous fait.

Je ne sais pas, on a prévu cette matinale il y a longtemps mais sachez qu'hier soir, la plus grande conjecture de mon domaine a été démontrée par l'IA. C'est une conjecture sur laquelle je ne travaillais plus mais sur laquelle j'ai travaillé quand j'étais plus jeune. D'ailleurs, j'expliquais il n'y a pas longtemps que pour moi c'était une très belle histoire. Je n'ai pas résolu cette conjecture mais le cheminement, tout ce que j'ai pu essayer a rythmé ma carrière scientifique et m'a permis de découvrir des choses que je considère à titre personnel plus importantes que la résolution de cette conjecture elle-même.

Donc oui, l'IA est capable aujourd'hui, il faut en avoir conscience, sur certaines tâches, sur certains types de conjectures. Là, c'est vrai qu'en fait, on voit que la preuve était assez adaptée pour être trouvée par une IA. Sur certaines conjectures, aujourd'hui, il est clair que l'IA est plus forte que les mathématiciens.

Et ça veut dire que l'IA a le beau geste ?

Après, la façon dont elle le trouve peut être très différente, finalement. Les mécanismes sous-jacents dans le cas de l'IA qui lui permettent de trouver telle ou telle idée, c'est très difficile de les comparer à ceux de l'humain. Donc, il est difficile de comparer le processus mais le résultat est le même. Mais c'est en ça, et je pense, qu'il va y avoir un enjeu fondamental pour les mathématiques. Et c'est pour ça que j'ai dit que je crois que les mathématiques sont également une science humaine. C'est que si on les réduit simplement au fait de démontrer des théorèmes, l'IA va être très efficace. Effectivement, elle ne démontre pas de théorèmes.

Mais les mathématiques nous apprennent aussi à penser. Quand elles m'apprennent à penser à moi, après ma façon de penser, je la transmets à mes élèves qui eux-mêmes enseignent à des enseignants. On est un maillon d'une chaîne. Et ça, il ne faut pas l'oublier.

Oui, mais j'ai vu quelques jours un mathématicien très déprimé par cette histoire-là. Cette histoire que l'IA était aujourd'hui capable de... En disant, mais à quoi va-t-on servir ? On voit aujourd'hui des enfants qui ne savent pas calculer parce qu'il y a la machine à calculer. N'avez-vous pas peur que, justement, la capacité démonstrative de l'IA fasse désormais des mathématiques qui ne savent plus démontrer ? J'ai peur

qu'on tombe dans le piège de réduire les mathématiques à une science qui est purement démonstrative et qu'on oublie cette dimension humaine des mathématiques qui est celle qu'on transmet en fait le plus à la société au-delà des... Il faut voir, par exemple, prenez le signe égal ou prenez les nombres négatifs. Tiens. Les nombres négatifs, ça existe depuis un petit moment dans l'esprit des mathématiciens. Mais même de Morgan, qui était un mathématicien, un des pères de la logique, a cette citation incroyable. Il dit 8 moins 3 se comprend parfaitement. Il suffit d'ôter 3 de 8. Mais 3 moins 8 n'a aucun sens car on ne peut pas ôter de 3 plus qu'il n'y a dans 3. De Morgan, c'est le 19e siècle.

Vous voyez, l'un des mathématiciens les plus connus de son temps a un problème avec les nombres négatifs. Or, aujourd'hui, je pense que personne n'est étonné quand on descend au moins 1 d'un immeuble ou quand il y a des températures négatives. Les nombres négatifs sont devenus culture générale. Et donc, il est important de préserver ce mécanisme qui est très long et très humain qui fait émerger des idées dans la tête de mathématiciens de quelques individus, de mathématiciennes et de mathématiciennes, qui vont ensuite les peaufiner les faire grandir comme on fait grandir un enfant et qui ensuite vont être capables de les transmettre à d'autres mathématiciens, etc.

Et ce long processus y finit par être en fait un outil conceptuel pour les citoyens et les citoyennes. Les gens peuvent utiliser les nombres négatifs aujourd'hui. Donc, il faut qu'on conserve ça et du coup, moi, je ne suis pas déprimé. Ok, l'IA résolvera très bien des problèmes, mais cette dimension de compréhension du monde mathématique, cette dimension de transmission de ces concepts au grand public, celui-là, c'est une histoire, c'est une épopée humaine et elle restera humaine.

Merci beaucoup, Hugo Dumini, le copain. Merci pour cet optimisme. On peut lire de l'autre côté du tableau noir pour savoir comment vous pensez, comment vous y êtes pris. C'est un livre que vous avez co-écrit avec Emmanuel Sander, Les mathématiques à visage humain aux éditions du Seuil. Merci.