☀️ [Cédric Villani] Peut-on mathématiquement prédire l'avenir du système solaire ?

Bonsoir à tous, vous êtes très nombreux mais on s'y attendait, nous sommes tellement heureux et fiers de vous recevoir ce soir Cédric Villani pour cette conférence sur les mathématiques, une première conférence sur les mathématiques et l'exposition maths qui a ouvert aujourd'hui même et qu'il faut absolument que vous alliez voir. Je vais peut-être demander l'avis de Cédric tout à l'heure puisqu'il a passé une partie de la journée avec nous, avec une partie de l'équipe de l'espace des sciences, il a tout visité.

Il

pourra vous dire s'il trouve ça bien ou pas bien. Voilà, je fais comme d'habitude, je vous donne...

Ah

ben, il veut le dire. Voilà, c'est pour vous dire qu'il avait...

C

'était notre petite surprise Cédric, on ne lui avait pas dit.

Vous voyez, on peut à la fois dans cette exposition faire des maths tout en préservant sa forme physique.

C'est

un joli cadeau, on va vous l'offrir. Alors, pour... C'est aussi, c'est quelque chose qui... Quand je l'ai vu, ça m'a fait penser au Shadok. Il y

en

a peut-être parmi vous qui connaissent les Shadok avec leur vélo à roues carrées pour descendre les escaliers, des choses comme ça. Donc voilà, je me suis transformé en Shadok un petit peu pour un moment.

Vous

y prenez plaisir.

Grâce à vous.

Voilà,

je vous donne juste le rendez-vous. Vous savez bien, parce qu

'on

termine toujours un petit peu vite. Le soir, je vous donne le rendez-vous de la semaine prochaine. Je ne

sais

pas si vous connaissez Gérard Ferret, puisque c'est l'année internationale de la chimie.

Oui, il

a fait un exposé magnifique à l'Institut Poincaré la semaine dernière.

Voilà,

donc nous aurons le plaisir de le recevoir la semaine prochaine. Gérard Ferret de l'Académie des sciences, médaillé d'or du CNRS. On ne reçoit que des médaillés en ce moment. Nous ne

sommes

pas peu fiers. Un peu de votre gloire rejaillit sur nous. Non, non, voilà. Alors, trêve de plaisanterie. Je vous dis aussi tout de suite, parce qu'après, je vais oublier que cette conférence est enregistrée, que vous pourrez donc la revoir sur le site de l'espace des sciences dans quelques semaines. Grâce à nos amis du Créa. Et je salue toute l'équipe qui est là-haut. Gwen, Vincent, Jackie. Je ne

sais

pas qui est là autrement. Voilà, je crois que c'est à peu près tout le monde. Je dis tout le monde. Voilà. Et puis, et puis bon, donc vous redire tout le plaisir que nous avons ce soir à recevoir. Un mathématicien amateur de musique classique, de rock, de BD et même de manga. Je me suis laissé dire. Je ne

sais

pas si c'est vrai.

Pourquoi vous

dites et même de

manga ? Parce

que parce que je sens les préjugés.

Non, non,

moi, j'aime bien aussi. Mais moi, d'abord, j'imaginais tous les mathématiciens plus vieux

et

enfermés dans leur...

Un vieux

mathématicien. D'abord,

c'est un jeune mathématicien, vous savez, au départ. Oui, c'est

vrai.

Mais

enfin, quand même, avoir la médaille Fields, ça n

'a

même pas 40 ans.

Oui, alors là, je vous arrête.

C

'est par définition parce qu'on l'attribue que à des chercheurs de moins de 40 ans.

Ça

y est.

Il

y a longtemps que j'ai appris que le ridicule ne tue pas. Donc, je ne

vais

pas en mourir. Je suis un peu vexée, mais je ne

vais

pas en mourir. Vous auriez pu me le dire tout à l'heure quand même.

Vous ne me l'avez pas demandé.

Voilà.

Alors,

donc, je disais amateur de BD et de manga.

Pas

de préjugés. Alors, avec un look. Alors, j'ai beaucoup cherché à qui vous me faisiez penser. Je pensais poète romantique, musicien. J'ai cherché dans la Valière aussi, en me disant peut-être que

ça

va me donner des... Puis en fait, c'est vous qui m'avez mis sur la voix. Vous ressemblez plutôt à Johnny Depp dans Édouard aux mains d'argent, non ?

Ce

n

'est

pas ça ?

Pas dans Édouard aux mains d

'argent. Dans

Benny & June, plutôt. En tout cas, c'est quelque chose qu'on me dit que ce genre de look, c'est un peu...

Enfin, d

'abord,

c

'est mon look à moi.

Mais

bien sûr, bien sûr. Et j'ai oublié de dire quand même, donc amateur de la Valière, on l'a remarqué, et d'araignées. Et en plus, vous soignez le détail jusqu'à choisir des couleurs en relation avec la ville dans laquelle vous vous trouvez.

Oui,

mais là, je n'avais pas assez de ressources.

Il

m'a remanqué une araignée noire. On m'a dit rouge et noir, ici.

Alors, j'ai essayé.

Cédric Villani, le flamboyant. C'est comme ça que vous définissent les journalistes. Ou encore, Cédric Villani, le virtuose. Vous êtes aussi le marsupilami. Oui,

oui, ça, c'est moi.

C'est bien vous. Alors, on va devenir un peu plus sérieux quand même. Vous êtes directeur de l'Institut Henri Poincaré. Vous êtes professeur à l'Université Claude Bernard de Lyon. Pur produit de l'enseignement français, dites-vous, école préparatoire, école normale supérieure, thèse à Paris-Dauphine. Sous la direction, d'ailleurs, d'un autre médaillé Filtz, Pierre-Louis Lyons. C'est ça

? Oui, Pierre

-Louis Lyons.

Voilà. Alors, il y a quelque chose qui semble important dans votre itinéraire aussi. En tout cas, c'est ce que j'ai cru comprendre en vous écoutant dans d'autres interviews. Des séjours aux États-Unis qui, dites-vous, vous ont apporté quelque chose d'autre. Je ne

sais

pas, des séjours de six mois à peu près à chaque

fois ? Oui, j

'ai eu la chance de pouvoir faire, à quatre, cinq ans d'intervalle, trois séjours d'un semestre à chaque fois aux États-Unis. Il se trouve que c'était aux États-Unis, ça aurait pu être ailleurs. Mais j

'ai

beau être un pur produit du système français, les voyages ont joué un rôle important. Des rencontres que j'ai faites à l'étranger ont été déterminantes. C'est comme tout. La recherche, ce n

'est

pas une guerre de pays ou une guerre de système. C'est un système dans lequel tout le monde est à la fois un peu en concurrence et un peu en collaboration. Et de temps en temps, on rencontre des gens qui viennent d'autres cultures et c'est très enrichissant.

Alors, vos parents étaient des littéraires, des professeurs de lettres. Alors, je ne sais pas, c'est par réaction au moment de l'adolescence que vous avez choisi les mathématiques ?

Non, c'est comme ça. C'était mon destin, peut-être, qui sait ? Ou c'était le hasard

? Alors,

une autre chose aussi qui est importante, qui est sérieuse, c'est que d'abord, cette passion, elle vous est venue, je crois, assez jeune. Mais vous racontez quelque part, c'est un prof de troisième, je crois, qui vous a un peu donné ce goût de la mathématique ou des mathématiques.

La mathématiques ou les mathématiques. J'aime bien la mathématiques pour insister sur l'unité. Les mathématiques insistent sur la diversité.

C

'est les deux à la fois. J'aime bien la mathématique. Oui,

je

dirais, d'abord, il

y

a eu des expériences au collège et au lycée qui ont été très importantes. Je les ai souvent mentionnées. Aussi, c'est une façon de rendre hommage à des professeurs du secondaire.

C

'est extrêmement important, souvent, les professeurs dans le primaire ou le secondaire, ceux qui arrivent à transmettre un peu de leur passion, éventuellement en sortant un peu des sentiers battus. C'est très important. Alors, après, la vocation s'affine peu à peu. Pour moi, le passage important, il y

a

eu les classes préparatoires, il y

a

eu l'école normale supérieure. Plus important que tout, peut-être, il

y

a eu la thèse. La thèse,

c'est

le moment où on cristallise, où on avance dans l'inconnu, où vraiment, on prend goût et où on rentre dans le métier.

Et

donc, vous pensez important de garder des heures d'enseignement à côté du travail de recherche, en tout cas, en ce qui vous concerne

? Oui,

je ne suis pas le seul à penser ça, mais même actuellement, directeur d'institut, je garde un service d'enseignement réduit, mais c'est important d'en garder un petit peu. Il y a une question de transmission. C'est important, pas seulement de découvrir, mais aussi de transmettre.

Il

y

a

aussi une question que c'est profitable à soi, souvent d'enseigner. On enseigne des choses, ça nous oblige à découvrir de nouveaux horizons. Ça nous oblige à repenser ce qu'on croit bien connaître. C'est très profitable.

Eh

bien, on va écouter votre conférence. On va se retrouver ensuite ici pour la partie des questions. Alors, je crois que, bon, on avait annoncé comme conférence, peut-on mathématiquement prédire l'avenir du système solaire ? Alors, par contradiction, vous avez décidé de changer le titre, peut-être. Vous allez nous expliquer pourquoi. Je vais vous laisser. Je vais souhaiter à tous une très, très bonne soirée. Je voulais juste vous dire avant de vous quitter, elle est trop belle, votre araignée.

Vraiment. Merci, Maët. Vous êtes trop gentille. Bonsoir à nouveau. Alors, comme l'a annoncé Maët, effectivement, j'ai changé le titre de mon exposé. Et bon, peut-être un peu de goût de la contradiction. Également, il y a que l'exposé, titre de l'exposé,

j

'ai donné il

y a

un bon bout de temps. Et entre temps, j'ai un peu changé la cible de l'exposé.

J

'ai opté pour une solution qui était un peu plus grand public, un peu plus large aussi. Le sujet que j'avais initialement annoncé, il sera traité, disons, il sera inclus dans le sujet plus général que voici. Pour ceux qui veulent approfondir ou en savoir plus, je ferai de mon possible au moment de la séance de questions. Et puis, j'ai voulu le raccrocher aussi un petit peu plus directement à mes travaux de recherche.

Et

l'exposé que j'avais en tête au début, il était un petit peu plus technique que celui que je vais maintenant vous proposer. Alors, c'est un exercice de vulgarisation. Je ne dis pas ça du tout de manière péjorative. Mais je vais être obligé de tricher un petit peu pour rendre les choses plus attrayantes, pour les faire passer auprès des non spécialistes. Des fois, je dirais des choses avec les mains. Il y a quelques spécialistes, des chercheurs mathématiques probablement, qui sont camouflés parmi vous. Et de temps en temps, ils vont peut-être s'offusquer que je fais un raccourci ou quelque chose de vraiment trop approximatif. Mais tant pis pour eux, ils n'avaient qu'à pas venir.

Alors, peut-on lire l'avenir des astres dans les lignes des maths

? Et

je vais commencer avec le tableau que j'avais donné comme image illustrative. Tableau de John Wright of Derby, un philosopheur, qu'on comprenait ici philosophe comme un scientifique, qui donne un exposé sur une, on va dire, horrerie, dans laquelle une lampe est mise à la place du soleil. Alors, horrerie, c'est cette machine qui reproduit le mouvement des astres. Ça, c'est une image que j'ai reprise d'un astrophysicien de Princeton qui me l'a fait connaître. Je l'aime beaucoup, pour plusieurs raisons. D'abord, ici, ça va bien aller avec le thème de la conférence.

Et puis, c'est un tableau qui a fait couler pas mal d'encre quand il a été peint, parce qu'au lieu de représenter un motif héroïque ou politique, l'auteur a représenté un motif d'ordre scientifique. Et on a la science au cœur de la famille, au cœur de la société. C'est une image que j'aime bien rappeler dans les exposés de vulgarisation, un peu généralement, parce que c'est vrai, la science, on a tendance à l'oublier parce qu'elle est souvent discrète, et on ne le voit pas en première page des journaux, mais c'est très important pour les questions d'amélioration du quotidien.

Les chercheurs, ce sont des gens qui oeuvrent pour le progrès de la société, si progrès a un sens, et ce sont des gens qui, souvent, sont passionnés de transmettre. On voit ici la question de la transmission, elle est bien illustrée par le visage radieux des enfants qui découvrent les mystères de la course des astres.

Alors, comprendre

le cosmos et représenter la course des planètes, c'est un très, très vieux problème. Ça agite les gens depuis, je ne

vais

pas dire depuis toujours, mais depuis très, très longtemps. Et il y a eu beaucoup de systèmes dans l'histoire qui ont représenté la course des planètes, la course des astres.

L

'une des représentations les plus célèbres, celle qu'on apprend au lycée, c'est celle de Johannes Kepler.

Et

ce sont les fameuses lois de Kepler qui décrivent le mouvement d'un astre en orbite autour de la Terre, autour du Soleil, pardon. Voici, par exemple, l'une des lois de Kepler, la première loi de Kepler, comme on l'appelle. Les orbites, l'orbite d'une planète autour du Soleil, n'est pas un cercle, comme on aurait pu le penser au départ, le cercle forme parfaite, mais c'est une ellipse. Alors ici, je vous rappelle, pour les non-initiés, la définition d'une ellipse. Une ellipse à deux foyers, le point qui est ici, F, et puis un autre point ici. Et puis, ici, voici l'ellipse, elle est caractérisée par la propriété suivante. Quand vous avez un corps qui se déplace le long de l'ellipse,

et

que vous regardez la distance par rapport au premier foyer, et vous ajoutez la distance par rapport au second foyer, ici, elles sont représentées en bleu et en rouge, respectivement, eh bien, la somme des deux distances est constante. Ceci est une propriété géométrique simple qui caractérise l'ellipse. Une belle propriété, et c'est un des succès de la théorie de Kepler que de représenter les trajectoires des planètes de manière aussi simple. Alors, il y

a

cette première loi qui vous donne la trajectoire sous forme d'une ellipse. Il y a une seconde loi, il y a une troisième loi. Et avec les trois lois de Kepler, vous arrivez à une définition, une description exacte du point de vue de Kepler du mouvement des planètes. Alors, les lois de Kepler, c'est quelque chose de très beau, très économe, très élégant. C'est le moment dans l'histoire de la science où le mouvement des planètes apparaît comme le plus régulier, le plus harmonieux. Avant, c'était moins beau. Après, ça sera moins beau aussi, au fur et à mesure qu'on comprendra mieux. Et donc, le mouvement de Kepler, c'est une sorte d'état de grâce, en quelque sorte. Entre parenthèses, ce n

'est

pas Kepler qui a formulé les trois lois sous la forme qu'on apprend maintenant au lycée. C'est Voltaire qui a extrait de Kepler les lois sous cette forme-là

et

qui les a popularisées. Si vous essayez de lire Kepler dans le texte, vous allez au devant de cruelles désillusions. 1665 arrive la loi de la gravitation universelle avec Isaac Newton. C'est une des dates fondamentales dans l'histoire des sciences. Newton publie sa loi presque 20 ans plus tard.

Et

vous avez ici à gauche une représentation des Principia Mathematica, l'un des ouvrages scientifiques les plus importants de tous les temps, dans laquelle en particulier on développe la façon de décrire les phénomènes physiques de manière mathématique, en termes d'équations qui permettent de prédire le mouvement des astres.

Et

Newton exprime, comme on l'apprend aujourd'hui en lycée, il exprime les mouvements en termes de force, de loi et d'accélération.

La

force s'identifie à la masse fois l'accélération. L'accélération étant la variation de la vitesse.

La

force,

dans

la théorie de Newton, de gravitation universelle, est proportionnelle au produit des masses. Ici, si vous avez un grand corps céleste qui attire un petit corps céleste, la force qui s'exerce entre les deux est proportionnelle au produit d'une constante, est égale à une constante multipliée par la masse du grand corps fois la masse du petit corps. Et ensuite, vous divisez le tout par le carré de la distance. C'est cette loi d'inverse du carré de la distance qui fera une bonne partie de la célébrité de Newton.

C

'était une loi remarquable. Et en particulier, il y avait cette idée qu'on peut décrire tous ces phénomènes du système solaire. Ce qui avait été décrit par Kepler sous forme de trois lois est ici résumé sous une seule loi.

Un

gain d'élégance remarquable. Voici les équations de Newton. Il y aura très peu d'équations dans cet exposé. Celle-ci en est une. Ici, j'ai écrit, j'ai numéroté, disons, dans le système solaire, les astres de 1 à n. Mettons que 1 soit l'indice correspondant au Soleil, 2, Mercure, 3, Vénus, et ainsi de suite. Et on va jusqu'à Pluton, si vous considérez Pluton comme une planète. Et ici, on écrit la loi de Newton. Et bien, si je veux calculer l'accélération que subit la Terre, par exemple, y égale 4, donc la masse de la Terre fois l'accélération de la Terre, ici c'est l'accélération, est égale à la somme des forces exercées par tous les autres corps.

C

'est ici qu'arrive quelque chose d'un peu magique et d'un peu terrifiant, comme Newton en avait conscience.

En

effet, alors que dans la théorie de Kepler,

on

s'intéressait à la force exercée par le Soleil sur une planète, dans la théorie de Newton, nous avons une loi de gravitation universelle. Tout le monde attire tout le monde, précisément, c'est universel, c'est démocratique. Et le Soleil n'a pas un rôle privilégié par rapport aux autres planètes.

Et

voici donc les équations dans lesquelles, ici, aux membres de droite, on tient compte non seulement de la force exercée par le Soleil, mais aussi de la force exercée par les autres planètes.

Et

c'est ici que les choses deviennent compliquées. En effet, quand Newton applique ces équations au problème des deux corps,

le

Soleil et une planète, ça vous fait deux corps, il retrouve les lois de Kepler. Il retrouve l'ellipse, il retrouve la loi des R de Kepler, et puis la loi du cube, du demi-grand axe aussi, énoncée par Kepler. Donc là, tout va bien.

Mais dès

qu'on

prend

en compte trois corps ou plus, il n'y a pas de solution explicite, pas de loi aussi jolie que les lois de Kepler. Et

rien

qui permette en apparence de calculer la solution, pas de formule. C'est la fameuse non-intégrabilité du problème des trois corps. En clair, si vous donnez trois planètes qui interagissent les unes sur les autres et cherchez à résoudre ces équations, vous n'y arrivez pas. En tout cas, il n

'y a

pas de formule.

Alors,

pourquoi c'est effrayant

? Parce

que ça, ça laisse beaucoup de liberté. Dans le monde de Kepler,

tout

était figé de manière parfaite jusqu'à la fin des temps. Et on tourne en orbite autour du Soleil, selon une orbite fermée, et tout va bien. Dans le monde de Kepler, il n

'y

a rien de tout ça. Alors, qui nous garantit que l'univers tel qu

'on

le connaît va rester tel quel

? Aucune

loi en particulier n'interdit les événements catastrophiques. Dans le monde de Newton, rien n'interdit, par exemple, qu'un beau jour, la Terre entre en collision avec Vénus.

Ou

que Pluton décide de s'échapper du système solaire. Pourquoi pas ? Il n

'y

a rien,

en

tout cas, aucune conclusion, aucune formule mathématique que vous puissiez déduire des équations et qui vous le garantissent. Et Newton a bien conscience de tout ce que ça ouvre de perspectives vertigineuses.

C

'est ainsi que naît l'un des plus anciens problèmes de physique mathématique, le problème de la stabilité du système solaire.

Étant

donné les équations mathématiques qui décrivent le mouvement du système solaire, est-ce que ce système va rester stable jusqu'à la nuit des temps

? De

manière générale, je vous ai dit,

le

problème

des

trois corps, le problème des quatre corps, le problème des dix corps, on ne va pas trouver de solution explicite. Et on est complètement désarmé face à ce problème. Newton était désarmé, ses successeurs aussi. Sauf que dans le système solaire, une question très importante est celle des échelles. Je m'explique.

Oui,

avant de vous expliquer, une petite galerie de portraits de quelques-uns de ceux qui ont contribué de manière la plus importante à ce problème de description du système solaire, de stabilité du système solaire. Newton est là, Kepler est ici. Nous avons ici Henri Poincaré, Nicolas Copernic, Vladimir Arnold, Andrei Kolmogorov, Jürgen Moser, Jacques Lascar. Il y

en

a des anciens, il y

en

a des récents.

Et

je vais vous parler un petit peu de leur contribution.

Et

d'abord, je reviens sur cette question d'échelle. Voici les images de quelques-uns des astres du système solaire qui nous sont familiers. La Terre, Vénus, Mars, Mercure, Pluton.

Tout

va bien. On se sent en Terre inconnue.

Quand

on inclut le Soleil par rapport aux autres planètes, on est frappé de la disproportion qui existe. Le système solaire, ici représenté à l'échelle, tout est représenté à l'échelle ici. Le système solaire, en gros, c'est le Soleil

avec

un petit peu de perturbation,

un

peu comme un peu de poussière qui vient s'ajouter au Soleil. La masse du Soleil est quelque chose comme mille fois plus importante que la masse de Jupiter. Et quand on voit ça, on se dit OK, c'est vrai que

la

Terre, par exemple, subit l'interaction de Jupiter,

l

'interaction de Saturne, autant que aussi bien que l'interaction du Soleil. Mais quand même, ce qui est prédominant, c'est l'attraction du Soleil. Et le reste doit pouvoir être traité comme une petite perturbation.

On

en recommencerait par une solution approchée, correspondant à la solution de Kepler. Et ensuite, on tient compte des autres planètes, mais comme une petite correction.

C

'est le début de ce qu'on appelle les méthodes perturbatives. Vous cherchez à étudier un système

en

vous ramenant d'abord à un système qui est facile, intégrable, facile à résoudre. Et puis, vous ajoutez une petite perturbation. Dans notre cas, le système facile à résoudre, ce sont les planètes en interaction avec seulement le Soleil.

Et

puis, quand vous ajoutez une petite perturbation, ça va être l'interaction des autres planètes. Alors, en mathématiques, on a une convention habituelle. Quand on rencontre un nombre qui est très petit, on le note très souvent, epsilon. Epsilon, quand il est très petit, on sait que le mathématicien légendaire Paul Herdeusch aimait appeler les enfants des epsilones. Un epsilon, c'est comme ça quand il voyait un petit enfant. Et ici, epsilon, ça va être pas les petits enfants, mais les petites planètes. La masse des petites planètes rapportée à la masse du Soleil, peut être un millième.

Alors,

les mathématiciens se sont mis à étudier des systèmes dans lesquels on a une petite perturbation par un petit coefficient epsilon de notre système solaire idéal.

Un

des premiers résultats importants,

dus

à Laplace, Lagrange et Gauss, c'est que, ok,

peut

-être qu'il y

a

des perturbations dans la loi de Newton. Peut-être qu'il peut arriver des événements catastrophiques, de grandes distorsions dans le système solaire. Mais il faut attendre très longtemps pour ça.

La

première idée qu'on a en tête, c'est que très longtemps, si vous avez un phénomène qui est d'ordre epsilon, ça peut être l'inverse de epsilon. Par exemple, si votre compte en banque augmente de environ 1% chaque année, votre premier réflexe,

ça

va être de dire qu'il va augmenter, il va doubler en 100 ans. C'est pas vrai exactement, parce que ça marche pas exactement comme ça, mais c

'est

la première image qui vient en tête. L'inverse du petit nombre epsilon. En fait, dans le système solaire, c'est pas du tout comme ça. C'est pas 1 sur epsilon qui va compter, c'est 1 sur le carré de epsilon. 1 sur epsilon fois epsilon.

Alors,

si vous vous faites le compte, si epsilon, c'est à peu près 1 millième, et que dans le système solaire, vous prenez comme référence l'année terrestre,

ce qui

est discutable parce que les années sont plus ou moins longues selon les planètes,

vous

arrivez comme ça à 1 sur epsilon, c'est en gros 1 000 ans. 1 000 ans, c'est pas beaucoup. On serait bien embêté si on apprenait que le système solaire peut varier monstrueusement sur une époque de 1 000 ans.

Mais

avec ce résultat de la place Lagrange et Gauss, 1 sur epsilon carré, ça devient beaucoup plus respectable. 1 sur 1 000 fois 1 sur 1 000,

ça

fait 1 sur 1 million.

On

arrive tout de suite à un résultat qui est de l'ordre du million d'années.

Ça,

c'était absolument remarquable scientifiquement. Avec un calcul mathématique, la place Lagrange et Gauss arrivent à faire des prédictions de l'ordre du million d'années.

Et

ils prédisent que le système solaire, sur cet ordre de grandeur, reste stable. Les variations sont très petites.

C

'était d'autant plus remarquable

que

ça allait à l'encontre des observations sur le très long terme qui montraient un mouvement inéluctable des distances, si je ne

me

trompe pas, il s'agissait du Soleil à Jupiter, sur autant qu'on avait de mesures précises, on avait l'impression qu'il y avait une distance qui diminuait toujours.

En

fait, on sait maintenant qu'il s'agit d'un cycle d'augmentation et diminution qui se répète sur environ 900 ans. 900 ans, c'est beaucoup pour nous. Et avec le simple pouvoir de la mathématique, ces mathématiciens nous montrent que, OK, même si sur 900 ans, on observe une variation toujours dans le même sens, si on regarde sur l'échelle du million d'années, ça va se compenser. Ceci, donc, était le début du résultat d'une série d'outils mathématiques qui s'adaptent de manière générale à des systèmes perturbés au sens où j'ai défini. Beaucoup plus tard,

au

milieu des années, au milieu du 20e siècle, un autre résultat qui a défrayé la chronique mathématique est le fameux théorème de Kolmogorov, Arnold et Moser.

Un

théorème, c'est un résultat mathématique que vous démontrez, que vous prouvez simplement par le raisonnement logique.

Et il

y avait de révolutionnaires dans ce théorème qu'au lieu de s'intéresser à la stabilité sur une grande échelle de temps, il s'intéressait à la stabilité pour tous les temps. Jusqu'à la fin des temps, est-ce qu'on peut avoir stabilité, préservation du système solaire tel qu

'on

le connaît ?

Et

au lieu de donner une réponse absolue définitive, Kolmogorov-Arnold et Moser donnent une réponse probabiliste. Ok, peut-être qu'on ne

va

pas savoir prédire si le système solaire est stable ou pas, mais partant d'une configuration initiale choisie au hasard,

quitte

à faire bouger un petit peu les positions des planètes par exemple, eh bien 99 fois sur 100, je tomberai sur une configuration stable.

Et

stable pour tous les temps. Ici, vous voyez comment se mélange, comment arrive dans ce problème qui semblait purement déterministe, puisque dans la théorie de Newton, on peut tout calculer a priori. Ici, vient s'inviter un raisonnement probabiliste. Ça, c'était une révolution. Et puis aussi, cette idée qu'on puisse faire des prédictions sur tous les temps, c'était révolutionnaire. Et

le

théorème a fait couler beaucoup d'encre, en particulier pour son interprétation, que je résume de la manière suivante. L'ordre, quand vous regardez un système perturbatif, il est probable

qu

'il se comporte de manière ordonnée, sans faire n'importe quoi, même si cet ordre n'est pas imposé par une loi. Dans le système de Kepler, on avait des lois qui contraignaient le système et le forçaient à rester bien gentiment à sa place. Ici, on n'a plus de lois et pourtant l'ordre reste probable. C'était une révolution dans la façon de penser, la mécanique classique, aussi bien du côté mathématique que du côté physique. Il y a un avant et après ce résultat de Kolmogorov-Arnold-Moser. Alors après,

est

-ce que ce résultat

s

'applique effectivement au système solaire

? Ici,

on peut considérer que le bas blesse, ou que le problème devient encore plus intéressant. Maintenant, les résultats de Kolmogorov-Arnold-Moser s'appliquent pour une valeur minuscule de Epsilon. Je vous ai dit tout à l'heure, Epsilon, le rapport entre la masse de Jupiter et la masse du Soleil, c'est peut-être un millième, ça semble très petit,

mais

ce n

'est

pas encore si petit que ça. Et

ça

a été un nouveau changement de paradigme, changement d'esprit,

quand

dans les années 80, Jacques Lascar et d'autres ont montré que notre système solaire est instable sur de très, très grandes échelles de temps. Montré par des calculs numériques, c'était le moment où on commençait à avoir des possibilités d'utiliser des ordinateurs pour faire de très, très lourds calculs.

Jacques

Lascar, en France, Scott Tremaine, au Canada, aux Etats-Unis, ont montré, en effet, que finalement, le système solaire est peu prédictible sur plus de 10 millions d'années.

Peu

prédictible, qu'est-ce que cela veut dire ? Ici, on touche à quelque chose qui est très célèbre et qui a aussi fait son chemin jusque dans la littérature grand public ou dans les films, ce qu'on appelle la théorie du chaos ou l'effet papillon.

Une

petite variation, au départ, sur les conditions initiales, par exemple, peut entraîner une très grande variation sur la situation au bout d'un grand temps.

Et

donc, ce que montrent Lascar et les autres, c'est que si on regarde beaucoup plus de 10 millions d'années, même si vous faites une toute petite erreur sur la position de la Terre, ça peut entraîner une très, très grande erreur sur la position de la Terre telle qu'elle sera 10 millions d'années plus tard.

Lascar

évalue qu'en quelques milliards d'années, il y

a

peut-être 1% de chances de catastrophes majeures dans le système solaire. Quelque chose comme ça.

Alors, les

conclusions

de

cette petite histoire sur le système solaire, c'est qu'en fin de compte, actuellement, le système nous apparaît peu prédictible. Je vous ai dit 10 millions d'années, peut-être 100 millions d'années, mais plus de 100 millions d'années, ça semble complètement irréaliste.

Comme

je vous l'ai dit, il y

a

eu un changement

de

croyance plusieurs fois dans l'histoire des sciences. En fait, il y a eu Lagrange et les autres qui nous ont fait penser à la stabilité. Plus tard, je l'ai sauté, lui, point carré, était plutôt du côté de l'instabilité. Kolmogorov nous a fait revenir du côté de

l

'instabilité. Lascar nous fait repencher du côté de

l

'instabilité. A chaque nouvelle découverte et nouvelle façon de voir, on se met à penser le système solaire de manière différente.

Et

il y a un aller-retour dans l'histoire entre mathématiques et physique, qui s'est effectué pendant plusieurs siècles. On est parti ici de Newton. et qui a enrichi à la fois les mathématiques et la physique. Profitable aux deux, en particulier parce que les théories développées dans ce cadre mathématique ont pu ensuite être appliquées à de nombreux systèmes physiques, pas seulement le système solaire.

La

croyance actuelle, c'est celle que je vous indique ici. Il est peu probable

que

des planètes se perdent ou se cognent avant la fin du système solaire.

Cela

s'est sans doute déjà produit dans le passé.

Une petite

vidéo que je vais vous montrer. Sauf que, comme un mauvais élève, je n

'ai

pas bien préparé ma

conférence.

J'aurais dû ouvrir la vidéo avant de vous la présenter. Je vais vous la retrouver rapidement.

Voici

un petit film qui résume ce que je vous raconte, que vous pouvez trouver, qui est dû à Jacques Lascar.

Du

fait des perturbations dues aux planètes, et donc pas seulement au Soleil, les orbites sont déformées, si vous voulez. Ici, ce qui est représenté à chaque instant, ce sont les orbites. Orbites au sens keplerien des planètes dans le système solaire. Regardez,

c

'est intéressant, dans le système solaire, les plans des orbites ne sont pas tous les mêmes. Rien ne se passe au début, pendant les quelques premières centaines de millions d'années, et après quelques milliards d'années. Voyez ici, comme les orbites s'affolent dans certaines situations, parfois dans les calculs réalisés par Jacques Lascar.

Les

orbites des petites planètes sont celles qui sont sensibles à cet effet de déstabilisation.

Les

collisions deviennent même possibles entre Mercure et Vénus,

Mars

et la Terre,

voire

Vénus et la Terre. Les petites images telles que je vous ai montrées, je vous laisse admirer d'abord

un

petit effet artistique.

Les

images, la variation des orbites,

s

'est basée sur des calculs

assez

prodigieux.

Le

système d'équation que Jacques Lascar simule à l'aide d'ordinateurs, il compte quelque chose comme 150 000 termes.

Et

il vous faudrait des journées entières rien que pour lire l'équation.

Et l

'ordinateur

y

arrive. Mais attention, il faut être très malin. Ce n

'est

pas parce que vous donnez une équation à manger à

l

'ordinateur qu'il va vous calculer la solution. Il faut être malin dans la façon de lui donner à manger, malin dans la façon de discrétiser, dans les méthodes numériques que vous employez, dans les erreurs d'arrondi. C'est tout un art.

Alors,

ceci pour la stabilité du système solaire. La conclusion, le système solaire est-il stable ? Vous l'avez compris, c'est qu'on ne sait pas.

Et

plus important, sans doute, certainement, que cette conclusion, il y a tous les progrès qui ont été faits en termes de méthodologie. Et puis, en termes de théorie. Alors, ceci, c'était pour la stabilité du système solaire. Et si vous le voulez, maintenant, on va élargir la discussion à la galaxie tout entière.

Une

galaxie, c'est quelque chose comme mille milliards d'étoiles. Système solaire, avec peut-être dix corps, vous avez vu à quel point c'est compliqué, et que pendant plusieurs siècles, les meilleurs esprits scientifiques se sont cassés la tête dessus et ont changé d'avis plusieurs fois. Alors, que dire d'une galaxie qui contient mille milliards d'étoiles

? Première

remarque,

au

centre de la galaxie,

on

estime qu'il y a un trou noir supermassif, comme on dit. Un énorme trou noir.

Le

trou noir, il a beau être énorme,

il

représente seulement une fraction minuscule de la masse totale de la galaxie. Ce n

'est

pas du tout le même problème que le Soleil avec les planètes tout autour. Le problème de la stabilité de la galaxie, c'est un problème beaucoup plus démocratique où les étoiles ont un peu toutes leurs mots à dire et il n'y

en

a pas une qui a un rôle prépondérant. Alors, mille milliards d'étoiles, vous imaginez bien qu'on ne

va

pas s'amuser à écrire les mille milliards d'équations.

D

'abord, on n'y arriverait pas. Ensuite, ce n

'est

pas ça qui nous importe. Si on veut s'intéresser à la stabilité de la galaxie, à l'avenir de la galaxie, on a envie d'avoir une information plus synthétique, plus résumée. Voici une autre petite vidéo

de

l'astrophysicien John Dubinsky qui vous donne une petite idée de ce que peut être, sur un très long terme, le mouvement des étoiles dans une galaxie. Remarquez le titre poétique,

«

Galaxies en collision

». On

va vous le mettre à partir d'ici, disons, voilà. Alors, regardez ça.

Ici,

ce que vous voyez en très, très, très accéléré, ce sont les mouvements des étoiles dans des galaxies. Alors ici,

vous

voyez des petites galaxies qui vont en collisionner d'autres.

Ce

n

'est

pas fait avec mille milliards de points, mais c'est fait quand même avec un bon paquet de points.

Et

ce qu'il y

a

derrière, comme physique, c'est rien de plus que ce que Newton savait déjà,

la

gravitation universelle, la loi en l'inverse du carré de la distance, telle qu'on l'apprend dans les écoles. Rien de plus. Mais comme il y

a

beaucoup, beaucoup d'étoiles, ça donne des figures complexes contre lesquelles on est assez démuni. C'est très difficile de dire quelque chose d'intelligent face à ça. D'abord, qu

'est

-ce qu'on voudrait étudier

? Ici,

admirer la collision de deux galaxies, telle que peut-être ça arrivera un jour à la nôtre

dans

quelques milliards d'années, qui sait

?

John Dubinsky insiste sur l'aspect artistique de sa création. Et effectivement, outre le caractère apocalyptique, je trouve que c'est assez esthétique.

Alors, ce

qui frappe dans l'image que j'ai, dans le film que je vous ai montré, je dirais, c'est qu'on n'a pas l'impression de voir des étoiles qui interagissent les unes avec les autres. On a plutôt l'impression de voir quelque chose comme un fluide, comme un liquide qui s'écoulerait, comme un gaz de particules. Et de fait,

une

étoile, à l'échelle d'une galaxie, c'est à peu près comme un atome à notre échelle. 1000 milliards, alors c'est un peu plus gros, mais quand même. 1000 milliards, c'est quelque chose tel qu'on peut parler de fluide.

Et

on rentre alors dans un domaine complètement différent de la physique, complètement différent des équations de Newton que je vous ai présentées, le domaine des équations aux dérivés partiels.

Les

équations aux dérivés partiels, c'est un peu un gros mot, mais c'est un vaste domaine aussi bien des mathématiques que de la physique qui sert à décrire l'évolution, l'état de très nombreux systèmes physiques, en particulier des systèmes fluides, des systèmes continus. Voici une petite galerie impressionniste d'équations aux dérivés partiels. Comme je vous

l

'ai dit, c'est une branche des mathématiques et il y a des spécialistes de ces équations, aussi bien du côté physique que du côté mathématique. Prenez-les comme des œuvres d'art, pour la plupart d'entre vous. Dites-vous que derrière, il y a des phénomènes physiques qui sont représentés. Derrière celle-ci, par exemple en vert, c'est l'équation de Boltzmann qui décrit les gaz raréfiés. C'est là-dessus que j'ai fait ma thèse. J'ai passé des années à étudier cette équation.

Ici

en dessous, c'est l'équation qui correspond aux galaxies. L'équation correspond aussi au plasma. L'équation dite de Vlasov qui date des années 1930.

Ici

en bleu, c'est la doyenne de toutes. L'équation de l'air. 1755, elle décrit le mouvement d'un fluide incompressible non visqueux. Un fluide parfait, comme on dit. Ça a beau être la doyenne,

c

'est une des pires dans le tas. Une des plus pernicieuses. On n'en sait presque rien sur elle. Et vraiment, elle est absolument terrible.

Ici,

vous avez le flot de Ritchie, l'équation qui a permis à Grigory Perelman de résoudre la fameuse conjecture de Poincaré il

y

a quelques années.

Ici,

l'équation de la chaleur, ici la relativité générale d'Einstein, ici l'équation de Schrödinger, la base de la mécanique quantique, et ainsi de suite. Pour de nombreux, très nombreux phénomènes physiques, vous avez les équations correspondantes qui vont décrire des fluides, des solides, des quantités qui évoluent dans notre temps, dans notre espace.

Dans

le cas d'une étoile, dans le cas des galaxies, la description appropriée,

c

'est une description statistique, héritée de la théorie des gaz, développée par Maxwell et Boltzmann au 19e siècle,

et

Vlasov au 20e siècle.

Au

lieu de s'intéresser aux positions et aux vitesses individuelles des particules, des étoiles, il y en aurait beaucoup trop, on va s'intéresser à la statistique de ces positions et de ces vitesses. Un peu comme un sondage du gaz. De la même façon que quand il y

a

une élection, vous ne cherchez pas à savoir pour chaque électeur, pour quel candidat il a voté. Vous cherchez à savoir quels sont les pourcentages, la proportion de voix que récupère chaque candidat. Ici, c'est un peu pareil. Vous ne voulez pas savoir combien d'étoiles, par exemple, ont une vitesse exactement, je vais dire, 1000 km par seconde dans cette direction.

Je

dis absolument n'importe quoi. Vous voulez savoir quelle est la proportion d'étoiles dont la vitesse est à peu près 1000 km par seconde dans cette direction.

Et

vous avez comme ça une répartition statistique du profil des vitesses, un peu comme vous auriez une courbe, par exemple, une pyramide des âges ou quelque chose comme ça. Un profil statistique de la répartition des revenus ou de qui sait quoi dans une étude socio-économique. Donc, profil statistique des vitesses du gaz ou des vitesses des particules, des étoiles dans votre galaxie.

Le

profil peut dépendre de la vitesse. Il peut aussi dépendre de la position. Peut-être que dans votre galaxie,

il

y

a

des endroits avec beaucoup d'étoiles et d'autres où il y a peu d'étoiles. Et ça aussi, vous voulez en tenir compte. Vous voulez vous intéresser à la densité de particules dans votre espace de position. Donc, cette information est résumée par une fonction F qui dépend de la position, qui dépend de la vitesse et qui vous indique quelle est la densité d'étoiles dont la position est environ X et la vitesse environ V. Prenez-le comme un sondage de votre galaxie.

Cette

description statistique, bien sûr, est beaucoup moins précise que la description individuelle des positions et des vitesses des étoiles. Mais après tout, ça renferme déjà beaucoup d'informations.

Et

c'est bien suffisant pour nous.

La

plus célèbre équation aux dérivés partiels décrivant l'évolution au cours du temps d'une telle densité

est

l'équation de Boltzmann. Je vous disais à l'instant que c'était là-dessus que j'avais fait ma thèse.

Sur

l'équation de Boltzmann, il y a un certain nombre de choses que j'ai comprises.

C

'est en partie ce qui m'a valu la médaille Fields. Mais pour autant, il reste énormément de choses que je n

'ai

pas comprises. Elle est encore mystérieuse,

plus

de 140 ans après avoir été écrite.

Elle

n

'a

pas encore dévoilé tous ses mystères. Là, revoici cette fameuse équation.

L

'équation de Boltzmann modélise ce qui se passe dans un gaz raréfié. Imaginez un gaz avec ses milliards de milliards d'atomes, milliards de milliards de molécules qui rebondissent les unes contre les autres comme un gigantesque jeu de billard. Absolument gigantesque.

Et

de toute cette description absolument chaotique, vous cherchez à extraire une information statistique fiable, à savoir quelle est l'évolution du profil de densité du gaz. Ça, c'est le problème que décrit l'équation de Boltzmann.

Dans

l'équation de Boltzmann,

ce

qui est important, ce sont les chocs entre molécules,

les

processus aléatoires. L'une des découvertes de Boltzmann,

qui

a fait en grande partie sa célébrité, et l'une des réalisations ont-ils été le plus fier, c'était l'introduction de ce qu'on appelle l'entropie.

L

'entropie, c'est un mot qui fait un petit peu peur, qui aussi fascine. On écrit beaucoup de bêtises au sujet de l'entropie et beaucoup de choses fascinantes.

Et

c'est un concept simple tel qu'expliqué par Boltzmann. Et je vais essayer de vous faire partager. Alors, je vous ai expliqué que quand on fait un profil statistique du gaz, l'information qu'on obtient, l'information qu'on en retire est moins précise que l'information qu'on aurait avec toutes les positions et vitesses des particules. Il y

a

une perte d'information du fait de l'imprécision de la description. Quand vous représentez un système avec peu de précision,

il

vous reste beaucoup de possibilités sur l'état de ce système, parce que vous observez seulement une partie, une fraction de l'état de ce système, seulement certaines informations.

Ce

nombre considérable de possibilités, on l'appelle traditionnellement W, il peut être plus ou moins grand en fonction de la distribution statistique.

Je

vais vous donner un exemple. Supposez que vous avez une élection avec 1000 votants et deux candidats, A et B. Supposez que 100% des votants votent pour le candidat A.

Dans

ce cas extrême, l'information statistique vous donne aussi l'information complète. Vous savez que tout le monde a voté pour le candidat A. Il n'y

a

pas d'incertitude.

Maintenant,

si 99,9% des votants votent pour le candidat A et 0,1% pour le candidat B, il y a une petite incertitude, pas grande. Il suffit d'identifier quel est l'électeur qui a voté pour B. Et ça vous dit exactement tous les votes.

Si vous

faites le calcul pour 99%, 1%, vous trouverez que l'incertitude est plus grande. 75%, 25%, encore plus grande. Et dans la configuration où il y a 50%, 50%, si vous faites le calcul, vous verrez que l'incertitude devient considérable. Le nombre de possibilités W s'est envolé. Alors, l'entropie mesure la taille de ce nombre de possibilités, la quantité d'informations qui vous manque pour arriver à une description complète du système.

L

'entropie telle que définie par Boltzmann est proportionnelle au logarithme de ce nombre W.

Pour

ceux qui n'ont plus aucune idée de ce que c'est qu'un logarithme, je vais tricher en disant que c'est à peu près le nombre de chiffres qu'il vous faut pour écrire W, ou plutôt le nombre de zéro. Si par exemple W c'est 100, c'est à peu près 2 le logarithme. Si W c'est 1000, on va dire que c'est 3. Si c'est 1 million, c'est 6, et ainsi de suite. Ça vous mesure la taille de ce nombre W qui parfois est absolument gigantesque.

Donc,

voici,

dans

le cimetière central de Vienne, la tombe de Boltzmann, et vous voyez la fameuse formule de l'entropie.

S

égale K log W, comme je vous le disais, S l'entropie, K, constante de Boltzmann, logarithme du nombre de possibilités.

Une

formule qui fait une bonne partie du renom de Boltzmann.

S

égale K log W, on pourrait écrire des livres entiers là-dessus. C'est une formule chargée de sens, au même titre que E égale MC2, ou d'autres formules célèbres.

Je

vais vous raconter dans quelles circonstances a été prise cette photo.

C

'était en 2006, pour le centenaire de la mort de Boltzmann. Boltzmann s'est suicidé en 1906. Donc, pour le centenaire de la mort de Boltzmann, il y avait une conférence, un grand colloque à Vienne, où on célébrait son actualité et ses découvertes. Et évidemment, j'en ai profité pour faire un tour au cimetière où je savais qu'il était enterré. Ce cimetière est absolument gigantesque. Arriver un peu tard, c'était impossible de trouver un plan. Il n

'y

avait pas de guichet. Il

n'y avait

aucune chance pour que je repère la tombe de Boltzmann dans ce cimetière gigantesque. Alors, je me mets en quête d'un plan. J'avise un groupe de touristes assis sur un banc près de moi. Et je leur demande s'il y a quelque part moyen d'avoir un plan.

Et

puis, ils me disent, non, non, il n

'y a

pas de plan. Et puis, le père de famille me demande, qui est-ce que vous cherchez ? Et je réponds, Boltzmann. Et il me regarde avec les yeux qui pétillent. Et il répond, S égale K log W.

Et c

'est lui qui m'a amené à la tombe et qui a pris la photo. Sur cet exemple, vous voyez comment la formule se change en une sorte de mot de passe de société secrète.

On

retrouve l'entropie comme c'est un concept assez universel, cette question d'information manquante. On retrouve l'entropie plus tard, au milieu du XXe siècle, dans une des théories les plus importantes scientifiques du XXe siècle, avec les théories les plus importantes, la théorie de l'information de Claude Shannon, qui préfigure un peu le monde dans lequel nous nous trouvons actuellement, avec sans arrêt des échanges d'informations, des transmissions d'informations codées.

Claude

Shannon, l'un des mathématiciens et ingénieurs les plus influents du siècle, nous parle ici de sa découverte, de son choix d'appeler entropie, la quantité qu'on appelle maintenant entropie de Shannon ou entropie de Boltzmann-Shanon.

J

'ai pensé à appeler cette quantité information, mais le mot était trop utilisé. J'ai décidé de l'appeler incertitude.

Quand

j'en ai discuté avec John von Neumann, John von Neumann, mathématicien hongrois, légendaire, et lui aussi l'un des pères de l'informatique, il avait une meilleure idée, tu devrais l'appeler entropie pour deux raisons.

En

premier lieu, ton incertitude a déjà été utilisée en mécanique statistique sous ce nom, et donc elle a déjà un nom. Et c'est ici qu'on voit effectivement que Shannon, sans le savoir, redécouvre un concept inventé par Boltzmann à la fin du XIXe siècle.

Et

puis, ajoute von Neumann, en second lieu, ce qui est plus important, personne ne sait ce que c'est vraiment que l'entropie, donc dans un débat, tu auras toujours l'avantage.

Ce

faisant, von Neumann introduisait une sorte de malédiction sur le sujet, et effectivement, le mot entropie a depuis ce moment fasciné, intrigué et découragé aussi.

Alors,

sans se laisser abattre, on va chercher à en savoir un peu plus, sentir un peu mieux ce concept d'entropie, et pourquoi il est intéressant, en particulier dans le problème qui nous occupe de stabilité d'un gaz, ou stabilité d'une galaxie,

peut-être. Alors,

d'abord, pour résumer, voici une autre anecdote, avant de revenir à des choses plus sérieuses. Désordre et information. L'entropie, donc,

je

vous en parle comme en termes d'information, c'est aussi quelque chose qu'on peut énoncer en termes de désordre. Et souvent, l'entropie, on en parle sous forme de désordre, tout simplement parce que

plus

il y a de désordre dans un système, moins on a d'informations sur lui. Si vous voulez, on va appeler désordre l'information qui nous manque sur le système pour le décrire. Alors, désordre et information.

Un

jour, après une interview sur un plateau télévision, dans la salle de maquillage, l'animateur me demande d'écrire en souvenir une petite formule que j'aime bien, quelque chose à quoi je tiens, qui rappelle mon passage. Et j'ai écrit pour lui S égale K log W, bien sûr.

Et

puis j'ai ajouté désordre et information.

Il

a réfléchi,

ça

lui a beaucoup plu, il a dit, c'est formidable,

ça

pourrait être la devise de notre chaîne, désordre et information.

Il

a réfléchi encore, il a ajouté, ça vaut mieux que ordre et désinformation. Effectivement,

le

contrôle de l'information, on sait bien que c'est quelque chose de vital quand on veut faire régner l'ordre, parfois un peu trop.

Alors,

pour revenir à la physique, dans la théorie de Boltzmann, Boltzmann fait cette découverte remarquable que si on adopte l'équation de Boltzmann comme modèle, l'entropie augmente toujours sous l'effet de processus aléatoires. Je vous ai décrit ce gigantesque billard dans lequel les molécules se collent les unes contre les autres de manière désordonnée. Et la découverte de Boltzmann, c'est que ces collisions désordonnées augmentent le désordre et la difficulté de la description de l'état du gaz.

C

'est ce qu'on appelle aussi la seconde loi de la thermodynamique, l'entropie augmente. Ce qui est beau dans l'approche de Boltzmann, c'est qu'au lieu de le prendre comme une loi, et c'est comme ça qu'on la prend en thermodynamique, on le prend comme un résultat démontré, un résultat mathématique, un résultat dont on convainc l'interlocuteur. Alors, voici le genre d'application que l'on peut faire en utilisant l'augmentation de

l

'entropie avec une valeur prédictive. Prenez un gaz représenté comme beaucoup, beaucoup de particules dans une boîte, et puis confinez initialement

votre

gaz dans une moitié de la boîte, avec une paroi.

Au

début de l'expérience, vous retirez la paroi et vous regardez ce qui va se passer. Alors, ce qui va se passer, on le sait tous, le gaz va envahir l'ensemble du compartiment avec une forte pression.

Dans

la théorie de Boltzmann,

ce

phénomène s'explique par augmentation d'entropie, le fait que le gaz spontanément cherche l'état où il remplit l'ensemble de la boîte plutôt que de rester simplement dans la moitié de la boîte. Effectivement, la situation où le gaz a accès à l'ensemble de la boîte est plus désordonnée que la situation où le gaz reste gentiment dans la moitié droite de la boîte.

Il

y a plus de désordre.

Plus

de désordre ici, plus de liberté, plus d'informations manquantes aussi, puisque dans le premier cas, on savait au moins que le gaz est resté dans la moitié droite. Maintenant, on ne le sait même plus. Alors, dans l'équation de Boltzmann, c'est ça qui fait l'augmentation, qui fait

la

possibilité de prédire l'état final comme l'état pour lequel l'entropie va être maximale, le désordre va être maximal. Alors, un petit calcul que vous pouvez faire pour voir comme ce sont des ordres de grandeur assez phénoménaux qui sont mis en jeu ici,

on

peut se demander de combien augmente le désordre dans un cas comme ça, de combien augmente le nombre de possibilités entre le moment où le gaz est bien gentiment dans la moitié droite de la boîte et le moment où le gaz occupe l'ensemble de la boîte. Alors, vous pouvez faire un petit calcul en supposant qu'il

y

a 10 puissance 17 molécules dans votre gaz, ce qui n

'est

pas du tout déraisonnable,

et

en calculant

le

rapport, le quotient entre le nombre de possibilités pour le gaz de remplir la boîte entière

et

le nombre de possibilités pour le gaz de remplir la demi-boîte. Alors,

on

se doute bien que le nombre de possibilités de remplir la boîte entière, c'est plus grand que le nombre de possibilités de remplir la demi-boîte. Combien plus grand, on peut se demander. Alors, deux fois plus grand, mille fois plus grand, un million de fois plus grand, un milliard de fois plus grand, mille milliards de fois plus grand.

En

fait, beaucoup, beaucoup plus que ça.

Pour

avoir une idée de combien de fois plus grand ça fait, c

'est

imaginer le volume de notre galaxie tout entière rapporté au volume d'un électron. Et bien, même ça,

c

'est absolument ridicule

par

rapport à ce rapport de nombre de possibilités. Pour avoir une meilleure idée, reprenez votre électron, agrandissez-le par la pensée aux dimensions de la galaxie, reprenez un électron dedans

et

puis recommencez le processus encore

et

encore

et

encore

et

encore 200 000 milliards de fois.

Et

là, vous aurez une idée de ce que c'est le rapport entre ces deux quantités. Vous voyez comme c'est phénoménal. Là encore, ce sont des problèmes qui sont derrière de combinatoire, des problèmes de décompte mathématique qui sont exacerbés par le grand nombre de molécules, ce qui explique ce caractère implacable de la loi de croissance de l'entropie. De nombreux comme ça,

vous

ne pouvez pas lutter contre.

La

question de l'augmentation de l'entropie dans l'équation de Boltzmann, c'est un problème qui m'a occupé pendant un certain nombre d'années.

Avec mon

collaborateur Laurent Devillette en particulier, on avait obtenu certains résultats sur la vitesse à laquelle cette entropie croît, sous certaines conditions

de

régularité

que

je ne

vais

pas décrire parce qu'ici, on n'est pas dans un exposé de mathématiques pour spécialistes. En tout cas, c'est un problème qui est toujours d'actualité, comprendre, estimer à quelle vitesse cette entropie augmente au cours du

temps. Et

si on croit à cette description anthropique, la conclusion, la prédiction sur le long terme de ce qui se passe dans l'équation de Boltzmann, c'est que la distribution statistique, la distribution des positions et des vitesses tend vers un état d'entropie maximale. Et cet état, c'est la fameuse et bien connue distribution gaussienne, la courbe en cloche familière des statistiques. Une courbe qui, de fait, est tellement courante qu'elle apporte peu d'informations et c'est bien pour ça qu'elle maximise l'entropie. Alors, ce qui est bien dans cette théorie, ce qui est très rassurant, c'est que, justement, elle nous apporte une stabilité sur le très, très long terme.

La théorie de Boltzmann, contrairement à la théorie de Newton, est une théorie dans laquelle le comportement, en temps très, très grand, est bien déterminé, bien stable. On s'approche de cet équilibre gaussien et on y reste pour toujours.

Et

on pourrait penser que c'est ce qui va se passer spontanément dans une galaxie.

Ça,

c'est une vue

qui

était tout à fait raisonnable jusque dans, vers le milieu du XXe siècle.

Dans

les années 1960,

on

s'aperçoit que c'est une fausse piste. Est-ce que

les

étoiles, la distribution des positions et des vitesses des étoiles dans une galaxie, a tendance à revenir au repos ? À cette question, l'astrophysicien Linden Bell répond oui, c'est quelque chose qu'on observe,

mais

ce n

'est

certainement pas un effet dû à l'augmentation d'entropie. Ce n

'est

certainement pas la théorie de Boltzmann qui permet de l'expliquer, parce que cette augmentation d'entropie est beaucoup trop lente. Les phénomènes aléatoires qui sont importants dans l'équation de Boltzmann, ils se produisent effectivement, mais sur des échelles de temps qui sont beaucoup plus grandes que l'âge de l'univers. Je vous disais il

y a

quelques instants que c'est un problème intéressant de comprendre la vitesse à laquelle l'entropie augmente. C'est un problème qui, dans beaucoup de situations, n'est pas résolue, mais c'est clair quand vous examinez les ordres de grandeur mis en jeu qu'à l'échelle de la galaxie, ça joue seulement sur des temps extrêmement longs et que ce n

'est

pas cette croissance d'entropie qui va apporter la solution au problème de la stabilité. Linden Bell, pour résoudre ce paradoxe, introduit le concept de relaxation violente. Admirez l'oxymore. Relaxation violente, c'est cette idée que la galaxie va avoir tendance à tendre vers un état d'équilibre, même si ce n'est pas dû à

l

'entropie. C'est plus violent

qu

'on ne l'attendrait dans le cadre de la théorie de Boltzmann. À part ça, personne ne sait ce que ça veut dire la relaxation violente.

Et

c'est un problème toujours d'actualité mathématique, non seulement d'établir ce phénomène de relaxation violente, mais d'abord de comprendre ce que ça veut dire, comprendre ce qu'on aimerait montrer. Souvent, un premier pas important dans un problème mathématique.

Pour

faire passer la pilule, Linden Bell argumente par analogie avec un autre phénomène bien connu en physique qui, lui, ne touche pas aux galaxies, mais à la physique des plasmas.

Un

phénomène qu'on appelle l'amortissement Landau.

Un

plasma, pensez-y, comme un gaz dans lequel vous avez des conditions physiques telles que les électrons et les noyaux vont être séparés. Les noyaux formés de neutrons et de protons ont une charge positive, les électrons ont une charge négative, les négatifs repoussent négatifs, les négatifs attirent les positifs, et vous avez comme ça, comme une soupe de charges positives et négatives qui s'attirent et qui se repoussent. C'est l'état plasma.

Les

plasmas,

on

les trouve dans beaucoup, beaucoup de systèmes physiques,

en

particulier les tentatives de créer la fusion nucléaire, source d'énergie qui résoudrait beaucoup, beaucoup de problèmes pour l'humanité, sont basés sur la domestication des plasmas.

Et

depuis les années 1930, c'est un problème scientifique important, comprendre le comportement des plasmas. Et là encore, on tombe sur des problèmes de physique et de mathématiques. Là où on pourra voir cette jolie variété de phénomènes physiques, un spécialiste théoricien des plasmas verra la jolie équation que voici,

l

'équation de Vlasov.

C

'est une autre équation que l'équation de Boltzmann, mais elle porte pareil sur la distribution statistique des positions et des vitesses. Et c'est elle qui va être plus adaptée pour décrire l'évolution des étoiles dans une galaxie ou l'évolution de la densité de charge dans un plasma, l'équation de Vlasov. Alors, je ne

vais

pas vous expliquer l'équation, mais vous voyez ici le temps

qui

intervient. Ici, il

y

a la variable X de position, la variable V de vitesse. Ici, le V, ça va être le potentiel gravitationnel de Newton, si je l'applique à une galaxie. Ici, vous avez une variation par rapport à la variable de vitesse, ainsi de suite. Donc, vous retrouvez là-dedans les mêmes physiques que dans Newton avec l'attraction des différentes étoiles, mais en plus, il

y a

l'aspect statistique qui a été incorporé. Notez, donc j'insiste là-dessus, que c'est la même équation qui décrit le comportement d'un plasma ou qui décrit le comportement d'une galaxie. Ça, c'est un phénomène remarquable. On rencontre souvent en mathématiques une équation abstraite qui peut s'appliquer dans un grand nombre de situations physiques différentes. Et ici, c'est le cas. Dans un cas, l'unité, ça va être un électron, le composant élémentaire. Dans l'autre cas, ce sera une étoile tout entière. Encore une différence d'échelle prodigieuse. Mais, miracle, c'est la même équation.

À part qu'il faut changer juste le signe de l'interaction, si vous voulez, parce que les étoiles s'attirent alors que les électrons se repoussent. Landau,

vous

voyez ici cette photographie date

de

l'époque où il a été envoyé en prison

pour

aucune bonne raison, évidemment. Landau avait cette intuition remarquable qui, à l'époque, était une révolution que partant d'un équilibre, une distribution à l'équilibre stable, comme une distribution gaussienne, par exemple, si vous le perturbez un petit peu et que vous regardez l'évolution par l'équation de Vlasov ou par la loi de Newton appliquée de manière statistique, alors spontanément, on va avoir convergence vers un autre équilibre et ce, sans avoir besoin de recourir à l'augmentation d'anthropie.

Ça, c

'est quelque chose qui a fait couler énormément d'encre. On l'appelle l'amortissement Landau depuis et on le trouve dans tous les livres de physique des plasmas.

Alors,

pour autant,

d

'un point de vue théorique, cette interprétation de Landau a donné lieu à controverses. Linden Bell l'utilise comme quelque chose qu'il considère comme bien établi, mais quand vous regardez la littérature scientifique à partir des années 1960 jusqu'à nos jours, on voit qu'il

y a

des discussions sur cet amortissement Landau, un problème théorique là encore.

Vous

donnez le modèle mathématique, est-ce qu'il y a effectivement cet effet de relaxation prédit par Landau, relaxation spontanée sans augmentation d'entropie, sans augmentation de désordre ? Ça paraît paradoxal, en particulier parce que s'il n'y

a

pas d'augmentation de désordre, ça veut dire qu'une certaine manière vous gardez la mémoire des conditions initiales, un peu comme dans l'équation de Newton,

alors

que la relaxation, la convergence vers un équilibre,

c

'est précisément d'oublier l'état initial et de tendre vers un état qui est très stable par exemple.

D'où

la question l'amortissement Landau est-il solidement établi ? Ici, le problème devient un problème pour théoriciens, physique théorique ou mathématiques.

Un

des sujets de discorde en particulier était le fait que le calcul de Landau s'appliquait seulement à une équation simplifiée, en jargon technique on dit linéarisée, les équations linéaires étant plus simples que les non linéaires d'habitude.

Alors, je

ne vais pas en parler en détail mais la controverse s'étale sur quelques décennies. Certains disent oui, l'amortissement Landau s'applique bien à l'équation non linéaire, d'autres non. Ça change d'avis du côté des mathématiciens et du côté des physiciens. C'est un cas où toute la puissance de la mathématique, l'avantage du fait que ça repose sur le raisonnement logique est appréciable. Dans une querelle comme ça, on va dire où il

y

a bataille d'intuition, si vous arrivez avec un raisonnement logique,

vous

pouvez convaincre votre interlocuteur.

C

'est le problème qu'avec mon ancien élève Clément Mouhou, on a résolu en 2009. Au moins dans le monde mathématique, au sens où une fois qu'on a admis l'équation de Vlazhoff comme modèle mathématique représentatif de la réalité, l'amortissement Landau, oui, a effectivement lieu.

Alors, en

même temps

qu

'on répond à cette question,

on

apporte un nouveau point de vue, un nouvel éclairage. Souvenez-vous, tout à l'heure, je vous ai expliqué comment on avait changé d'opinion peu à peu sur le problème du système solaire, la stabilité du système solaire et, somme toute, c'est l'éclairage qui compte et les techniques qui ont été introduites à cet effet plus que le résultat lui-même. Ici, c'est un peu pareil. On a compris des nouvelles choses en rapport avec cet amortissement Landau en travaillant sur la preuve et ces liens sont peut-être plus importants que la solution elle-même.

En particulier, à notre grande surprise, on a trouvé un lien mathématique entre ce problème d'amortissement Landau et deux autres célèbres paradoxes de mécanique théorique du XXe siècle.

L

'un est celui dont je vous parlais tout à l'heure, le théorème de Kolmogorov, selon lequel certains systèmes perturbés restent ordonnés sans contraintes apparentes. Même s'il n

'y a

pas de loi qui les force à rester ordonnés, ils vont le rester au moins avec forte probabilité.

Et

l'autre est une expérience appelée écoplasma.

Jolie

expérience que je vais vous décrire pour vous montrer comment ces systèmes physiques que sont les plasmas, ils ont parfois des propriétés inattendues. Et on retrouve ces propriétés inattendues dans l'étude mathématique des équations. Voici l'expérience telle qu'imaginée dans les années 1960. Vous préparez un plasma dans votre laboratoire en équilibre, au repos, et puis au début de l'expérience, vous lui appliquez une brève impulsion électrique de sorte qu'un champ électrique se crée dans le plasma et puis spontanément ce champ électrique va relaxer, va s'atténuer jusqu'à disparaître.

À

ce moment, vous envoyez une seconde brève impulsion avec une autre fréquence spatiale qui va à nouveau agiter votre plasma, former un champ électrique, le susciter, et puis ce champ électrique va disparaître.

Et

puis vous attendez et vous mesurez le champ électrique.

Et

vous observez au bout d'un certain temps une réponse spontanée du plasma. Alors qu'il semblait au repos, il n'était pas tant au repos que ça. En fait, il a gardé la mémoire non seulement de la précédente impulsion, mais aussi de celle d'avant. Et ce sont ces deux impulsions qui vont interagir

alors

qu'elles étaient invisibles l'une et l'autre. Elles vont à un moment interagir de manière visible.

Comme

quoi,

le

plasma n'a pas oublié finalement les impulsions. Même si le champ électrique observé est nul, il en restait trace au niveau de sa structure microscopique, au niveau précisément de la distribution statistique.

Et

puis, on voit aussi sur cette expérience que le plasma, c'est une sorte de drôle de système qui réagit avec retard

aux

impulsions et aux perturbations. Précisément, cet effet retard tel qu'on l

'a

découvert est important pour établir rigoureusement l'amortissement en Landau.

Et

c'est assez joli parce qu

'il

est important pour mettre sur pied l'intuition de Landau

et

il a été découvert bien après, 20 ans après les travaux de Landau.

Il

y

a

ici une sorte d'ironie de l'histoire. Alors,

les

conclusions ici aussi. et

il

y a des points communs avec l'histoire du système solaire dont je vous ai parlé, même si les méthodes mathématiques sont très différentes. Ici, on a une longue preuve mathématique qui introduit de nouvelles idées et un nouveau point de vue. Le résultat, tel que je vous l'ai décrit de manière très informelle, met un terme à 50 ans de controverse.

Et peut

-être un point important dans l'histoire, là encore, ça fait changer de point de vue. De la même façon que dans le théorème de Kolmogorov, il nous fait changer de point de vue sur la façon dont le système est prédictible ou pas. Ici, on voit qu'effectivement, on a possibilité de relaxation non linéaire pour une équation non linéaire sans pour autant qu'augmentation d'entropie. Pour la première fois, c'est établi de manière rigoureuse. Ici, la relaxation est due au confinement et au mélange. Alors, juste un commentaire sur le mot mélange pour vous donner encore une idée de ce qui peut être lié à cette relaxation.

Tout à l'heure, je vous parlais de l'augmentation du désordre et je vous expliquais dans le cas de Boltzmann, les particules, quand elles se rencontrent, à chaque fois, on a ces collisions désordonnées qui augmentent le désordre du gaz. Ça paraît assez naturel.

Ici,

imaginez votre gaz comme serait un système d'un très, très grand nombre de petites fourmis. Les fourmis, souvent, quand vous les observez, quand deux fourmis se rencontrent, on a l'impression que si on les regarde, qu'il y a quelque chose qui se passe et puis elles continuent leur route, chacune de leur côté, selon le plan qui était fixé au départ. En tout cas, souvent,

c

'est ça l'impression que ça donne. Alors, ces fourmis, si vous voulez, elles gardent l'information complète. Il n'y

a

pas d'augmentation du désordre parce que quand les deux fourmis interagissent, elles continuent leur route comme si de rien n'était.

Mais

quand vous regardez du dessus et que toutes ces fourmis se déplacent avec des vitesses différentes, des trajectoires différentes, dans une impression d'un fluide de fourmis qui lui donne l'impression d'être au repos. Il y

a

un peu de ça. C'est le mélange créé par toutes ces trajectoires différentes, toutes ces vitesses différentes qui créent l'impression de relaxation et le fait que le champ électrique, dans l'expérience de l'amortissement Landau, il décroît vers zéro. Ce n

'est

pas une augmentation de désordre, c'est un phénomène de mélange. Alors, c'est peut-être joli de parler en termes de petites fourmis et puis on aime bien penser à ce genre d'image pour comprendre ce qu'on fait. Après, quand vient le moment de rédiger la démonstration mathématique, on n'a plus droit à ce genre de raisonnement ou à ce genre d'intuition avec les mains. Arrive le moment où il faut mettre ça sur pied, sur pied de manière entièrement logique, entièrement rigoureuse. Ici, vous avez la première page de l'article tel qu'on l'a écrit pour démontrer ce phénomène. Essentiellement, il s'agit de démontrer un théorème.

L'article fait 180 pages et la démonstration en elle-même en couvre plus d'une centaine.

Le

résultat, je vous l'avais dit, est long, la preuve est longue, la preuve est très compliquée. Et puis,

c

'est assez coriace comme genre de problème. Voici des exemples représentatifs de l'article. on peut voir ça avec un peu de terreur

ou

on peut voir ça d'un point de vue artistique en se disant qu'après tout, ça fait des jolies formules

ou

on peut aussi voir ça avec grand intérêt pour un mathématicien professionnel, surtout pour un analyste, la catégorie de mathématicien à laquelle je me rattache. On aime quand le problème est résistant et quand on a besoin de l'attaquer, de se battre avec ses tripes, si vous me passez l'expression. Là, pour ce problème, on est servi.

Mais au

-delà de la satisfaction de résoudre un problème qui est posé depuis longtemps, si le problème ne résiste pas, on n'est pas vraiment satisfait. C'est comme tout. C'est l'effort qui fait le prix de la victoire, comme on dit. Alors, je vais m'arrêter là. Là encore, tirer quelques petites conclusions. Je vous ai déjà donné les conclusions. Ma dernière conclusion, c'est que ce que je vous ai raconté, c'est juste une gouttelette dans l'océan de ce qu'on aimerait savoir. La démonstration, elle a beau être longue et complexe, il faut rester modeste. C'est une toute petite partie de l'histoire. C'est un phénomène de relaxation spontanée pour de petites perturbations. Ce n

'est

pas du tout encore la compréhension de cette fameuse relaxation violente. On est loin, très loin de comprendre ce qui se passe dans le genre de simulation que je vous ai montré avec les galaxies qui entrent en collision. On est très loin de comprendre vraiment ce qui va se passer pour le futur de la galaxie. De la même façon que l'histoire du système solaire, elle n'est encore pas vraiment résolue. même si à chaque fois qu'on a un nouveau changement de théorie, on a l'impression de comprendre beaucoup mieux. Voilà. Merci.

Bravo et merci, Cédric, pour cette belle démonstration. Je sais, je vous connais, vous êtes forts, vous avez tout compris, mais vous voulez toujours en savoir plus, donc vous allez poser des questions. Et puis, juste, je voudrais dire quand même que dans la salle,

il

y a effectivement des mathématiciens rennais. Ils ne sont pas vieux.

Je

les connais, ils sont jeunes et tout, parce que tout à l'heure, j'ai pu donner l'impression que je pensais que tous les mathématiciens étaient vieux. non, non, je sais très bien qu'il y

en

a des très jeunes et de très brillants à Rennes aussi. Voilà. Alors maintenant, les questions. Les questions, donc. Ben alors, d'habitude, vous vous précipitez. Eh ben voilà, ça a été tellement bien clair

qu

'il n

'y a

pas de questions.

Ce

n

'est

pas possible.

Je ne veux pas le croire,

c'est la première

fois que ça arrive.

Ils vont le faire, ils ont peur

de la première fois. Voilà,

merci. C'est très gentil.

Là

-bas, Daniel. Devant. Voilà,

voilà,

voilà. Encore un peu, encore un peu, encore un peu.

Bonsoir.

Bonsoir.

Merci pour cet exposé. Alors, j'ai une question un peu technique, mais vous allez sûrement expliquer de façon beaucoup plus claire que je ne peux poser la question. La simulation des galaxies, est-ce que c'était fait avec du lattice Boltzmann

?

OK. On commence fort. Alors,

la

réponse est non.

Et

je vais développer ça.

Quand

vous faites des simulations numériques, une simulation numérique, qu'est-ce que c'est ? Il s'agit de transformer votre modèle mathématique en un objet calculable par l'ordinateur.

Et

pour ça, vous avez deux grandes catégories de méthodes possibles.

Une

consiste à reproduire les équations de la physique. Une autre consiste à partir de l'équation et à reproduire l'équation.

En

l'occurrence, il s'agit, dans la simulation que je vous ai montrée, de la première méthode dans laquelle

on

se contente de reproduire les lois de la physique. Donc, juste des particules qui interagissent les unes avec les autres.

On

mime l'équation de Newton. et ici, on pourrait ignorer

l

'équation de Boltzmann ou l'équation de Vlasov. On pourrait tout ignorer les équations des répartiels, le faire de manière complètement naïve. On met plein de particules, elles s'attirent et on regarde ce que ça donne. Alors, si on essaie de faire comme ça, ça ne marche pas vraiment. il faut être un peu plus malin que ça. Mais c'est quand même une modélisation simple. Et ce n

'est

pas, pour répondre à la question, ce n

'est

pas du Lattice-Boltzmann. Ce n

'est

pas, en partant de l'équation qu'on a fait cette simulation, c'est en mimant les lois de la physique élémentaires.

Une

autre question

? Moi,

je n'en pose pas parce que j'ai tout compris. Ça va.

Oui,

mais ce qui, évidemment,

les

questions peuvent porter sur... Oui, monsieur. Pas forcément sur la conférence elle-même.

Bien

sûr, bien sûr.

Sur

les mathématiques en général et sur...

Bonsoir, monsieur. Une question beaucoup plus générale. Comment vous est venue l'idée de traiter ce sujet-là ? Le système solaire, son évolution, l'évolution en astronomie, etc.

Alors, le

système solaire, ah, de traiter dans la conférence

? Non, non, non. De ce que sont mathématiquement ? Dans

votre carrière, mathématiquement, pourquoi ? avoir abordé ce système-là, par exemple,

au point de

vue mathématique, quoi.

Oui. Le système solaire, je dirais que c'est un des plus anciens sujets. Ça remonte, pour le coup, ça remonte à Newton. Il y a 350 ans d'histoire derrière. C'est un des premiers problèmes qui se posent. Je pense que

c

'est naturel la question du système solaire. On cherche à savoir si les planètes vont revenir telles qu'on les connaît et puis comment les astres vont réapparaître. ça,

c

'est quelque chose qui est venu naturellement dès le départ, je dirais, certainement déjà. Bon,

enfin,

dans l'Antiquité, il y

a

des milliers d'années déjà.

C

'était un problème qui agitait les gens. Comprendre comment ça va, qu'est-ce qui va se passer demain et puis après-demain et puis dans 100 ans et puis dans 1000 ans. ça,

c

'est pour le système solaire. La question de la stabilité de la galaxie, je dirais qu'après, c'est l'étape suivante. On se dit, bon, on ne sait pas résoudre la question du système solaire. On va prendre encore plus compliqué, voir si on sait résoudre ou si on sait trouver des choses. De manière générale, l'astrophysique, c'est des questions naturelles qui viennent avec les mathématiques. c'est parmi les plus anciennes. Tout à l'heure, on était, on visitait là-haut à la bibliothèque, n'est-ce pas ? Il y avait ces petits, ces tiroirs remplis de vieilles

fiches. Ah oui, oui, oui, les anciens. Vous vous souvenez

que mathématiques et astronomie étaient rangés ensemble ? C'est vrai, dans le même tiroir.

Dans le même

tiroir.

Je

pense que c'est très, très ancien, ça.

Oui,

monsieur, ça y est, ça y est. Je

me

disais bien aussi. Alors, monsieur, d'abord.

Vous avez parlé, monsieur,

de

l'entropie. Oui. En ce qui concerne la cosmologie, moi, oui, je vais souvent à Florence dans le département

du Gers,

et puis, on me voit des astrophysiciens, des mathématiciens,

notamment

Jean-Philippe Huzan. Oui. Je ne sais pas si vous avez entendu

parler de lui. L'Institut Astrophysique

de Paris, oui. Voilà, oui,

oui.

Il est vachement malin,

il

s'est sûr, là.

Ah, il est malin, Huzan, ça,

c

'est sûr,

oui. Oui,

alors, là, c'est l'année dernière, il nous a fait un thème sur la cosmologie, et il a parlé au moment du Bing Bang, et 380 000 ans après le Bing Bang, il y

a

eu le découplement du rayonnement de la matière, mais dans, entre, là, c'était l'entropie par elle-même, c'est ce qu'ils appellent l'âge sombre.

L

'âge sombre.

pour

après, une fois que les 380 000 ans se sont accomplis, il

y

a eu le découpement du rayonnement de la matière, dans lequel les protons, les neutrons, les électrons, tout ça, la matière, c'est formé, dont vous, vous êtes fait, dont moi, je suis fait, dont la salle est faite, là.

Oui, nous

sommes tous des enfants de l'âge sombre.

Voilà,

oui, voilà, alors, au niveau de l'entropie, en cosmologie, qu'est-ce que vous en pensez de cet âge sombre, là ?

Ouh là là !

Au niveau des fluctuations de densité, aussi, parce qu'il y a également des fluctuations de densité, donc il faut faire attention.

j'en pense que c'est fascinant, mais là, pour le coup, on sort vraiment de mon domaine de compétence. Moi, je suis dans la partie, comment on va dire, classique. C'est aussi mon style, j'aime bien, m'attaquer à des problèmes mathématiques, de physique mathématique qui sont posés dans le cadre de la mécanique classique. Là, vous avez vu, je vous ai parlé de systèmes solaires et de galaxies, et tout ce qu'il y avait, c'était l'interaction de Newton. Et avec cette loi de Newton, qu'on connaît depuis 350 ans, vous voyez comment, mathématiquement parlant et physiquement parlant, on est désarmé pour beaucoup, beaucoup de questions. C'est quelque chose qu'on oublie souvent.

La recherche en physique fondamentale, ça progresse d'une part par la découverte de nouvelles espèces de particules, de nouvelles interactions, mais aussi par une meilleure compréhension des lois déjà découvertes. Et même pour les interactions de Newton qui sont les plus anciennes, il reste énormément à comprendre et à découvrir. Le problème de la formation des galaxies

n'est

pas encore vraiment résolu. En tout cas, il y a beaucoup de questions qui se posent encore.

Et

on est là dans un domaine, c'est plus du tout des questions d'âge sombre ou de découplement, on est dans un domaine parfaitement classique. même quand on reste autour de la période qui nous intéresse, il y

a

beaucoup de problèmes qui restent non résolus.

Vous

avez une question par

ici

?

Oui,

alors voilà, on va vous donner le micro.

Oui, merci. Je voulais vous poser une question plutôt sur le rêve. J'ai l'impression que les mathématiques vous font rêver un petit peu.

Mais

est-ce que vous rêvez puisque vous parlez d'étoiles, de galaxies, de systèmes solaires, est-ce que ça vous arrive de rêver en regardant ces étoiles

et

les planètes du système solaire

? En regardant les

étoiles dans le ciel ? En étant un astronome ? Oui, la réponse est oui, bien évidemment. quand on y arrive, vous savez comme moi que c'est un grand drame, que ce n

'est

pas très facile de les observer pour de vrai à cause de la pollution lumineuse. Et des fois, ça arrive qu'on se retrouve bien isolé.

Je

me souviens d'une fois dans une forêt australienne où là, j'avais une extraordinaire vue de la voie lactée avec aucune pollution lumineuse.

C

'était magique. Oui, ça nous fait rêver. C'est comme parmi les phénomènes que j'aime beaucoup regarder, les petites vaguelettes sur l'océan. Les problèmes de mécanique des fluides qui nous sont très familiers sont aussi parmi les plus difficiles des équations aux dérivés partiels. Parmi les plus simples phénomènes d'écoulement des fluides, un fluide dans lequel on tient compte de la viscosité, mais dans lequel on ne tient pas compte de la compressibilité, établir une propriété simple, disons, établir le fait qu'un profil de vitesse continue au départ, continue dans l'espace, quand on laisse couler le fluide au cours du temps, reste continu.

si vous savez résoudre ça, vous gagnez un million de dollars offerts généreusement par le Clé Mathematics Institute. C'est un problème mathématique très célèbre, ouvert depuis presque 80 ans.

Ce

sont des questions, donc des modèles simples et des modèles qui nous sont familiers, contre lesquels on est complètement impuissant. Encore mieux, je vais vous dire, quelque chose qui peut vous faire rêver quand vous savez ce qu'il y

a

derrière, c'est quand vous faites bouillir de l'eau pour préparer votre thé. Le phénomène du changement de phase, liquide vers vapeur par exemple, changement de phase pour des liquides, changement de phase en continu, comme on dit, est un problème non résolu mathématiquement. Personne ne sait vraiment quelle est la raison profonde pour laquelle on change d'état de temps en temps.

Alors

on peut calculer les chaleurs latentes,

on

peut physiquement calculer beaucoup de choses, mais pourquoi ça fait ça ? En mathématiques, on veut comprendre vraiment ce qu'il

y

a derrière, quelle est la raison profonde pour laquelle ça fait ça et montrer par le raisonnement logique que le gaz, que le liquide, doit changer d'état à un certain temps.

À un certain

température, on ne sait pas faire. Ça aussi, je trouve, ça fait rêver.

Vous utilisez beaucoup dans votre exposé, par exemple, les mots, c'est beau, une jolie équation, les

choses comme ça, c'est vraiment... Oui, c'est comme ça. Je pense tous les mathématiciens professionnels, c'est une question qui revient sans arrêt quand ils parlent de mathématiques entre qu'est-ce que c'est beau, regarde la nouvelle découverte d'un tel, c'est magnifique, extraordinaire.

Une

autre question

?

Bonsoir.

Il

y a Démocrite qui a dit

tout

est le fruit à la fois du hasard et de la nécessité.

Qu

'est-ce que vous en pensez

? On

va... Là, on va aller bien loin. Alors, je vais parler de hasard et je vais remplacer nécessité par déterminisme, qui va être un peu le contraire de hasard et qui ressemble à nécessité dans le cadre de cet exposé. Et puis peut-être, ce faisant, je fais un contresens, mais ça me permettra de commenter en tout cas. il y

a

eu un moment précisément après, au moment où Laplace et les autres ont travaillé sur les équations du système solaire et appliqué le formalisme de Newton, où ils se sont rendus compte qu'effectivement, la simple loi de Newton, elle permettait d'expliquer toutes les observations d'astres qui étaient connues à l'époque. À l'époque, on n'avait pas encore besoin de la relativité, on n'avait pas vu qu'il y avait des anomalies dans le mouvement de Mercure et des choses comme ça. En tout cas, ils ont vu qu'on arrivait à expliquer tout.

Et c'est le début de ce qu'on a appelé le déterminisme lagrangien, l'idée que, à partir du moment où, connaissant l'état de l'univers à un certain moment, on peut en déduire l'état de

l

'univers à un moment ultérieur, et où tout ça enchaîne de manière logique. On pourrait en déduire en théorie du moins. Disons, toutes les conséquences logiques de ce qui s

'est

passé avant.

Ce

n'est pas clair maintenant si on est encore d'accord avec cette vision du monde. D'abord,

il

y a la mécanique quantique qui est passée par là. La question de

l

'interprétation de la mécanique quantique est toujours sujette à débat, et en particulier le rôle des probabilités là-dedans. Et puis, dans les interactions fondamentales de la physique, en général, savoir s'il y a une part d'aléatoire, c'est quelque chose qui est discuté. Mais, quelque chose qu'on a compris par la suite, et c'est une partie de cette... c'était présent aussi dans cet exposé, c'est que même si, en principe, on peut tout calculer, ça peut n'avoir aucun intérêt en pratique, ça peut s'avérer impossible,

et

on en revient de manière effective à des phénomènes aléatoires. C'est le cas dans cette vision de Boltzmann où tout est gouverné finalement par l'augmentation du désordre.

Et

puis, c'est le cas dans la théorie du chaos où, certes, on peut peut-être tout calculer, mais savoir ce qui va se passer à la fin, ça requiert de savoir une précision telle qu'elle est absolument inaccessible en pratique.

Par

exemple, donc ça c'est un exemple qu'on trouve dans l'ASCAR,

si

à un certain moment on fait... L'incertitude, l'ASCAR, il a une jolie formule qui dit que l'incertitude dans le système solaire, par exemple, la distance entre deux points de masse qui vont se déplacer dans le système solaire, en gros, elle croit comme 10 puissance T sur 10 où T est le temps exprimé en millions d'années. Voilà. Alors, qu'est-ce que ça veut dire en pratique ? Vous faites une incertitude de 15 mètres, disons, sur la position de la Terre au temps initial dans vos équations au début de votre calcul et vous attendez 10 millions d'années et vos 15 mètres ça devient 150 mètres. 15 mètres c'est rien. 150 mètres c'est pas grand chose.

Maintenant, vous attendez 100 millions d'années plutôt que 10 et vous trouvez, alors je ne sais plus, 150 millions de kilomètres, en tout cas quelque chose qui est absolument monstrueux de l'ordre des dimensions du système solaire. Donc au bout de 100 millions d'années pour calculer ce qui va se passer en 100 millions d'années il vous faudrait une précision absolument monstrueuse quelque chose qui est impossible à observer en pratique et vous vous retrouvez finalement avec du hasard là où on ne

l

'attendait pas le hasard qui est dû au fait qu'on n'a pas une précision infinie dans l'observation. Donc si on veut on peut dire que même là où on croyait que tout était nécessité ou en tout cas déterministe on retrouve le hasard. C'est le principe du chaos déterministe.

Je

ne

sais

pas si j'ai vraiment répondu à la question sinon on pourra en reparler.

Alors

une question jusqu'au fond. Faites-vous... Voilà. Bonsoir, mon âme.

Comme le ridicule ne tue pas je vais oser poser ma question qui va montrer à quel point tout ce monde met inconnu. comment se fait-il que des gens inventent ou créent ou découvrent des équations

et

qu'ensuite les autres mathématiciens ne les comprennent pas

? Ouais. On

est bête.

On

n'y arrive

pas.

Elle est bien la question.

Ouais, la

question elle est super en fait. La question je dirais que malheureusement il y a certains ça arrive de rencontrer des grands scientifiques qui n'ont même pas compris la réponse à cette question. Donc c'est pas du tout une question ridicule. Alors la réponse elle vient dans le fait que trouver une équation une équation c'est quoi ? C'est une condition on va dire. Une équation ça vous dit que c'est une relation.

De la même façon que si vous cherchez à décrire quelqu'un vous voyez un portrait quand vous faites un portrait en ombre chinoise au lieu de dire la personne c'est un tel vous dites cette personne elle est comme ceci elle a les cheveux blonds elle a des lunettes de soleil ou qui sait quoi vous donnez comme ça toutes les caractéristiques. Une équation c'est un peu ça c'est une condition que doit vérifier l'objet. Eh bien les conditions ça vous donne pas l'objet en lui-même. C'est pas parce que vous avez écrit les conditions qu'il existe une personne qui satisfait à votre portrait robot.

De la même façon c'est pas parce que vous avez décrit les conditions qui vont régir votre phénomène physique qu'il existe un objet mathématique qui va répondre à toutes les conditions.

Une

équation qui n'a pas de solution c'est très facile à écrire. Des exemples tout bêtes par exemple niveau lycée vous cherchez imaginez l'équation imaginez vous connaissez que les nombres réels ce dont on a l'habitude 1,

2,

3 et puis des fractions et puis des limites de fractions et puis vous cherchez un nombre dont le carré est égal à moins 1.

Un

nombre comme ça vous pouvez toujours l'écrire c'est une équation x carré égale moins 1

et

puis cette équation elle

a

pas de solution. Alors il faut attendre l'invention des nombres imaginaires pour trouver une solution à cette équation. Donc là en deux mots je vais vous donner une équation qui n

'a

pas de solution.

Quand

vous écrivez pareil une équation de mécanique des fluides par exemple

je

peux très bien qu'elle n

'ait

pas de solution. Alors

le

raisonnement physique va consister à dire voici un phénomène que j'observe et avec des arguments

en

partie intuitif en partie avec les mains je vais écrire l'équation que je pense être la bonne équation pour décrire ce problème physique.

Et

après le mathématicien ou un physicien théoricien va arriver et va dire ok voici l'équation qu'on pense être la bonne. Est-ce que cette équation est effectivement la bonne ? Première question est-ce que cette équation a effectivement une solution

?

Question suivante la solution qu'est-ce qu'elle fait ? Tout à l'heure j'ai montré l'équation de Newton l'équation de Newton Newton l'a écrite et c'est une condition que vérifient les différentes positions des planètes

est

-ce que cette condition elle peut être vérifiée et si elle peut être vérifiée qu

'est

-ce qu'on peut dire sur cette solution ? Est-ce que des planètes vont entrer en collision ? C'est pas écrit sur l'équation il va falloir le déduire de l'équation le déterminer voilà donc c'est pas parce qu'on écrit une équation qu'on a des informations chez la propriété de la solution de l'équation une équation c'est quelque chose c

'est

une contrainte sur un objet la solution de l'équation on la connait pas c'est pas l'équation toute seule qui la donne il va falloir travailler à partir de l'équation pour comprendre quelque chose sur sa solution voilà donc ça c'est dit en quelques mots la solution de l'équation c'est l'objet qui nous intéresse écrire l'équation c'est quelque chose trouver la bonne équation c'est important mais après ce qui compte vraiment c'est la solution de

l

'équation c'est ça qui décrit le phénomène physique et ça arrive c'est assez facile d'écrire des équations respectables qui n'ont pas de solution ou dont les solutions changent complètement en fonction de ce qu'on cherche

ouais alors

une autre question un petit peu à droite

oui

on peut être surpris que vos travaux soient basés sur le travail de Newton sur sa formule alors que la relativité générale a généralisé ou a complexifié d'une certaine façon mais mieux décrit finalement le comportement de la matière donc je m'interroge sur la raison de ce choix

alors la

première constatation c'est que

le

monde qui nous entoure

il

est extrêmement compliqué probablement on n'arrivera jamais à avoir une description aussi précise qu'on le voudrait aussi exacte qu'on peut

ce

qui compte à partir de cette réalité inaccessible c'est construire un modèle un modèle c'est quoi c'est un objet mathématique qui résume une partie de la complexité du monde qui en garde certains caractères importants tout en le simplifiant de telle sorte qu'il puisse être accessible à notre étude

alors

Newton arrive avec un modèle qui est basé sur une description classique

puis

arrive la relativité

la

relativité générale arrive la mécanique quantique arrive les plus récemment les théories des champs la théorie des cordes et qui sait quoi et beaucoup beaucoup d'autres modèles

à

chaque étape on gagne en précision c'est vrai

mais

cette précision elle n

'est

pas forcément pertinente

il

y a beaucoup de problèmes dans lesquels

le

modèle

le

plus simple même s'il est moins précis reste pertinent

dans

le cas du système solaire même sur de très très grands temps on peut se passer de relativité sauf

pour

la description de mouvements de mercure dans lequel ça joue un rôle non négligeable

mais

pour le reste c'est un la mécanique classique est bien suffisante alors croire que

on

va gagner

sur

les résultats en prenant un modèle plus élaboré c'est une illusion parce que le modèle plus élaboré il peut être simplement impossible à résoudre ou beaucoup trop compliqué la relativité générale c'est monstrueux l'équation de la relativité générale mathématiquement parlant on est encore assez démuni par rapport à ça et ce sont des calculs absolument phénoménaux la théorie quantique des champs c'est un des échecs majeurs de la physique théorique du 20ème siècle on n'arrive pas à la représenter de manière mathématiquement cohérente

la

théorie des cordes on ne sait toujours pas

plus

une théorie est complexe plus elle est précise peut-être mais moins plus elle est branlante sur ses fondations moins on arrive à l'appréhender rigoureusement la question qui a

été

posée tout à l'heure de la différence entre l'équation et la solution devient de plus en plus sensible à ce côté là plus une équation est compliquée plus on va avoir du mal à dire des choses sur sa solution

dans

ce contexte la compréhension du problème correspondant à la mécanique classique le plus simple d'abord il est pertinent à peu de choses près sur de très très grandes échelles de temps à l'échelle qui nous intéresse et ensuite c'est un problème modèle dont la résolution peut être importante pour vraiment comprendre qu'est-ce qui est important en première qu'est-ce qui est important d'abord dans ce problème

voilà une

autre question

sur

la gauche

j

'aimerais revenir sur la notion de difficulté à comprendre certains modèles vous avez défini que la physique quantique relativité générale était difficile à comprendre du fait que nous n'avons pas les capacités c'est trop grand lent nous n'avons pas les capacités de le comprendre est-ce que comme le suggère Kurt Gödel au lieu de mettre en cause les observations ou

de

rester impuissant face à la complexité des phénomènes astraux ou autres ou physiques que nous pouvons rencontrer nous pouvons poser des questions sur notre modèle logique celui de l'homme en général les façons dont on conçoit nos calculs les équations sont faites sur les observations et les cadres dans lesquels nous sommes placés de ce fait il semble c'est assez paradoxal logique que nous ayons des difficultés à comprendre des phénomènes extrêmement éloignés qui correspondent comme vous le dites à la mécanique des fluides corps des champs ou autre

est

-ce que

on

peut définir que si on a des difficultés à comprendre ces phénomènes astraux ou même des notions comme ça logiques ou des rapports comme ça ou autre c'est parce que notre modèle logique en lui-même n'est pas adapté au monde aux observations qu'on veut comprendre et est-ce qu'il est possible de modifier notre logique pour tenter ou enfin de développer des modèles logiques ou mathématiques pour tenter de mieux comprendre ces phénomènes

alors

la réponse peut nous entraîner loin première remarque c'est qu'attention je ne dis pas que la relativité générale par exemple on la laisse tomber parce qu'elle est trop compliquée au contraire la relativité générale c'est une des théories extraordinaires de la physique du 20ème siècle et les résultats que ça donne dans certains cas tant qu'on calcule les corrections sont époustouflants de précision simplement ça dépend de ce qu'on regarde s'il s'agit de considérer par exemple la perturbation à un moment donné de la trajectoire de tel corps ça marche remarquablement bien

mais

quand on s'intéresse sur le long terme à l'interaction de dix corps là ça devient absolument monstrueux du point de vue de la relativité générale alors que pour un modèle plus simple on va arriver à en sortir quelque chose de manière générale dans les théories les plus abouties physiques plus la théorie est perfectionnée moins on arrive à inclure de corps à tel point que je pense parfois on n'arrive même pas à traiter le problème à un corps

alors

maintenant la question de la part de complexité du modèle ou question de la logique c'est difficile parce que je dirais que c'est dans l'essence même des mathématiques qu'on essaye de représenter un phénomène qu'on observe selon un modèle mathématique logique et qui correspond à notre logique en tout cas celle dont on a l'habitude on dirait que c'est presque par la définition par définition des mathématiques et jusqu'ici ça a quand même marché remarquablement bien alors on peut dire c'est vrai il y a un paquet de choses qu'on ne connait pas mais c'est quand même un peu baisser les bras je dirais qu'il y a plein de choses qu'on ne comprend pas ça doit être parce qu'on n'a pas la bonne logique j'aurais tendance à dire c'est parce que simplement on n'a pas été assez imaginatif ou on n'a pas cherché assez et puis même parce que ce qu'il

y

a comme complexité dans l'univers est incommensurable et même si ça peut très bien être régi par les lois de la logique dont on a l'habitude peut-être pas mais si ça l'est pas on change complètement d'attitude c'est plus

on

change de paradigme scientifique je dirais

dans

la science il y

a

cette idée là qu'il y

a

une explication logique derrière ce qu'on regarde

alors

voilà encore une autre question et puis

on

viendra vers vous après

alors vous nous avez beaucoup parlé de Boltzmann et donc notamment

vous

nous avez montré une de ces équations sur laquelle vous avez travaillé oui et qu'est

-ce

que vous avez ressenti quand vous vous êtes retrouvé devant sa tombe

oh là là j'étais très très ému

ah

oui oh là là

j

'étais ému il y a une pour les mathématiciens ils aiment bien regarder loin en arrière et puis on lit encore les oeuvres qui ont été écrites il y a des décennies voire plus de cent ans le livre de Boltzmann je l'ai lu son livre sur la description statistique et c'est un des livres importants du 19ème siècle et quand on le rencontre c'est émouvant on ressent comment on va dire la filiation la transmission le gars qui est enterré là ses idées sont toujours celles sur lesquelles je travaille je suis son héritier d'un certain point de vue c'était très émouvant et il y a encore un paquet de choses que j'ai à faire sur l'équation de Boltzmann et là j'étais là sur la tombe je me

dis

ok

t

'inquiète pas Ludwig j'y arriverai

je

suis sûre ça lui a fait plaisir encore une question ici

bonsoir moi je voudrais rester sur l'entropie aussi vous avez dit si je ne

me

trompe pas que l'entropie croissait toujours

mais

si on considère un système isolé donc par exemple la Terre si on peut considérer qu'elle est isolée ou le système solaire alors ça va représenter quoi qu'elle va toujours croître et ça va donner quoi à la fin la fin des temps cette quantité d'entropie qui va toujours toujours augmenter sans jamais s'arrêter

alors

alors l'entropie croit toujours ça c'est vrai sous de bonnes hypothèses il

y a

une hypothèse que vous avez dite qui est importante qui est effectivement un système isolé

si

il y a des échanges si on a un système ouvert ça se peut que l'entropie ne croise pas ou au moins que la croissance d'entropie soit très ralentie c'est le cas pour les êtres vivants on est des ralentisseurs d'entropie l'entropie croit beaucoup moins vite que ce qu'elle devrait dans notre organisme on lutte contre ça

alors

dans le cas du système solaire le problème c'est pas la question de l'isolation c'est la question du formalisme statistique l'entropie elle croit toujours sous l'effet des processus aléatoires c'est très très bon par exemple si on modélise un gaz avec tous ces chocs qui se produisent et le côté statistique dans lequel la notion d'entropie acquiert toute son importance

si

on regarde le système solaire comme 10 corps des planètes 9 ou 10

autour

du soleil la notion d'entropie n

'a

pas vraiment d'importance là

c

'est pas un problème statistique

il

n'y a pas de collision spontanée entre ces différentes planètes c'est très rare là le formalisme ne s'appliquera pas ce qui manquera c'est l'hypothèse qu'on est dans une description statistique

et

l'entropie pour les équations de Newton il n'y

a

pas de notion d'entropie s'il n

'y

a pas de statistique derrière il

n'y a

pas de notion d'entropie l'entropie reste constante et si on regarde le système solaire à l'échelle macroscopique des planètes du soleil en gros c'est ça

alors

si on regarde à l'intérieur de la Terre là on va pouvoir dégager une notion d'entropie si on regarde au niveau des gaz au niveau des océans là on aura des notions d'entropie qui s'appliqueront mais ça va dépendre de l'échelle à laquelle on regarde pareil donc prenez un ça peut paraître paradoxal mais si je prends une boîte et je mets un gaz dedans

et

je m'intéresse à ça il y

a

une notion statistique dans le gaz donc là l'entropie c

'est

quelque chose d'important mais si je prends du recul et que je regarde les étoiles dans ma galaxie à l'échelle où c'est les étoiles qui m'intéressent c'est l'interaction entre les étoiles l'entropie a très peu d'importance c'est pas là qu'on va observer quelque chose de significatif

et

l'entropie c'est là c'est une notion subtile l'entropie ça dépend du modèle ça dépend de l'information si on a accès pour un système à toutes les positions vitesses des particules si on avait une quantité d'informations complètes une connaissance divine pour ainsi dire tout ce qui se passe il n

'y

aurait pas de notion d'entropie l'entropie est associée à une incertitude au fait qu'on fait des expériences qui sont incomplètes

il

y

a

un bon jeu de mots pour ça c'est de se rappeler que l'entropie c'est une notion anthropique anthropique à NTH au sens c'est une option qui est basée sur l'observation et sur l'incertitude liée aux observations

donc

ça dépend du modèle ça dépend de la description

oh

là là là encore deux questions et puis

on

s'arrêtera peut-être là après

moi

j'ai pas bien compris ce que vous voulez dire le terme relaxation

relaxation

alors

relaxez-vous un grand coup relaxation ici je l'ai employé comme l'idée d'arriver vers un état stationnaire stable un état qui se perpétue il est de s'approcher de quelque chose qui est stable un exemple simple ça serait je prends un plasma dans un plasma il peut ou pas y avoir un champ électrique spontané que je vais pouvoir mesurer du fait qu'il y

a

des charges positives et négatives qui ont différentes répartitions un état de relaxation ça serait un état dans lequel j'observe aucun champ électrique champ électrique nul ou quasiment nul

dire

que le plasma va relaxer c'est dire qu'il va passer dans un état dans lequel il est agité dans lequel il y a un champ électrique non nul vers un état dans lequel il y

a

un champ électrique nul et il va rester comme ça pour tous les temps en général on utilise l'idée de relaxation pour décrire un système qui arrive dans une configuration stable une configuration de repos une configuration qui s'entretient qui reste identique à elle même et c'est un problème général en physique mathématique de comprendre si pour certaines équations il

y

a relaxation ou pas par exemple vous avez un système vous l'agitez est-ce qu'il va rester à s'agiter jusqu'à la fin des temps ou est-ce que peu à peu l'agitation va diminuer par exemple du frottement va être facteur de relaxation ou ces collisions vont être facteurs de relaxation

voilà alors

il y

a

encore une question oui

alors on a vu à travers votre exposé de quels outils mathématiques se servaient les scientifiques pour prédire l'avenir du système solaire

avec

notamment des profils vous avez parlé de profils statistiques alors est-ce que au contraire les scientifiques utilisent ces mêmes outils pour expliquer la création du système solaire

la création du système solaire c'est aussi un problème qui est basé sur

sur

la traction newtonienne c'est aussi oui du moins une des façons de le formuler c'est aussi en termes de répartition de masse alors sauf que

il

faut faire attention

là

dans l'exposé tel que je l'ai présenté tel que je l'ai présenté le formalisme statistique qui devenait intéressant à l'échelle statistique à l'échelle de la galaxie où on se retrouve avec des milliards et des milliards de corps le système solaire si on raisonne en termes de planète c'est juste 10 planètes pas plus on peut considérer que le problème est différent alors l'interaction fondamentale c'est toujours la même c'est toujours la gravitation c'est toujours newton ce qui serait plutôt

en

rapport avec ce que j'ai présenté dans lequel le formalisme statistique joue un rôle important ça serait la formation d'une galaxie

et

de fait par exemple un problème qui est un problème fondamental en partie y compris c'est pourquoi spontanément les étoiles s'organisent-elles en galaxies

et

puis après pourquoi les galaxies s'organisent en clusters de galaxies comme on dit au lieu d'être réparties de manière un peu homogène partout dans le cosmos

c

'est pas évident

et

de fait un plasma où vous prenez des électrons vous les mettez et vous regardez comment ça se répartit spontanément ça se répartit de manière à peu près homogène alors quand on passe de l'interaction électrostatique à l'interaction gravitationnelle c'est complètement différent et on arrive à une physique dans laquelle il y

a

ce phénomène de clustering d'agrégats où la matière tente à se mettre ensemble alors la matière s'agglomère en étoiles les étoiles se regroupent en galaxies les galaxies se regroupent en clusters de galaxies derrière il y

a

un phénomène un mot clé qui s'appelle instabilité de genes instabilité c'est justement l'idée que des configurations des patterns des motifs qui s'organisent sur de grandes échelles sont instables et spontanément on a création de motifs qui se passent à des échelles pas trop grandes et ça c'est quelque chose qui fait intervenir aussi le même genre d'équations que ce que j'ai montré

voilà

on va s'arrêter là pour les questions de ce soir je voudrais quand même que Cédric Villani nous parle de cette exposition qu'il a visitée très sérieusement ce matin l'exposition Les maths à portée de main qui est une exposition extrêmement ludique ouverte aux enfants à partir de 7 ans mais il y a quand même un espace minimum qu'on pourrait appeler un espace epsilon si j'ai bien compris un

espace epsilon oui très bien

voilà et donc j'aimerais que vous en disiez un mot parce que voilà on a l'impression qu'on s'amuse est-ce qu'on apprend vraiment comme ça